Question

（2003•福州）已知：如圖，等邊三角形ABC中，AB=2，點P是AB邊上的任意一點（點P可以與點A重合，但不與點B重合），過點P作PE⊥BC，垂足為E；過點E作EF⊥AC，垂足為F；過點F作FQ⊥AB，垂足為Q，設BP=x，AQ=y．
（1）寫出y與x之間的函數關系式；
（2）當BP的長等于多少時，點P與點Q重合；
（3）當線段PE、FQ相交時，寫出線段PE、EF、FQ所圍成三角形的周長的取值范圍（不必寫出解題過程）

Answer 1

【答案】分析：（1）可在直角三角形BPE中，用x表示出BE的長；同理在直角三角形ECF中，用EC表示出CF的長；同理在直角三角形AFQ中，用AF表示出AQ的長；而AQ=y，由此可得出y，x的函數關系式．
（2）當P，Q重合時，y+x=2，然后聯立（1）的函數式即可求出x的值即BP的長．
（3）當線段PE，FQ相交時，因為∠PEF=∠EFQ=60°，
所以由線段PE，EF，FQ所圍成的三角形仍是一個等邊三角形，其邊長等于EF長，
由勾股定理得：EF=CF=（1-）；
所以線段PE，EF，FQ所圍成的三角形周長為：C=3EF=3（1-）．
而當線段PE，FQ相交時，BP+AQ≥2，即x+y≥2，x++≥2，x≥；
所以當線段PE，FQ相交時，（≤x≤2）
因為C=3（1-）中，C隨x增大而減小．
所以3（1-）≤C≤3（1-），即≤C≤2；
所以當線段PE，FQ相交時，線段PE，EF，FQ所圍成的三角形周長C的取值范圍為≤C≤2．
解答：解：（1）∵△ABC為等邊三角形
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=CA=2
在△BEP中，∵PE⊥BC，∠B=60°
∴∠BPE=30°，
而BP=x
∴BE=x，
∴EC=2-x
在△CFE中，∵∠C=60°，EF⊥CF
∴∠FEC=30°，
∴FC=1-x
同理，在△FAQ中可得AQ=+x
而AQ=y，
∴y=+x（0＜x≤2）

（2）當點P與點Q重合時，有AQ+BP=AB=2
∴x+y=2（6分）
∴x+y=2，y=+x，解得：x=
∴當BP的長為時，點P與點Q重合；

（3）解：設三角形的周長為C，
當線段PE，FQ相交時，因為∠PEF=∠EFQ=60°，
所以由線段PE，EF，FQ所圍成的三角形仍是一個等邊三角形，其邊長等于EF長，
由勾股定理得：EF=CF=（1-）；
所以線段PE，EF，FQ所圍成的三角形周長為：C=3EF=3（1-）．
而當線段PE，FQ相交時，BP+AQ≥2，即x+y≥2，x++≥2，x≥；
所以當線段PE，FQ相交時，（≤x≤2）
因為C=3（1-）中，C隨x增大而減小．
所以3（1-）≤C≤3（1-），即≤C≤2；
所以當線段PE，FQ相交時，線段PE，EF，FQ所圍成的三角形周長C的取值范圍為≤C≤2．
點評：本題主要考查了等邊三角形的性質、直角三角形的性質以及一次函數的綜合應用．