Question

26、已知：如圖所示，AC⊥CD，BD⊥CD．線段AB的垂直平分線EF交AB于點E，交CD于點F，且AC=FD，求證：△ABF是等腰直角三角形．

Answer 1

分析：根據線段垂直平分線的性質，得FA=FB，只需證明∠AFB=90°．根據HL可以證明Rt△ACF≌Rt△FDB，則∠CAF=∠DFB，結合∠CAF+∠CFA=90°，即可求證．

解答：證明：∵EF是AB的垂直平分線，
∴FA=FB．
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴△ACF與△FDB是直角三角形．
在Rt△ACF與Rt△FDB中，AC=FD，FA=BF，
∴Rt△ACF≌Rt△FDB（HL）．
∴∠CAF=∠DFB．
∵∠C=90°，
∴∠CAF+∠CFA=90°，
∴∠CFA+∠BFD=90°，
∴∠AFB=90°．
∴△ABF是等腰直角三角形．

點評：此題綜合運用了線段垂直平分線的性質、全等三角形的判定和性質．