Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB=m，BC=n，將此矩形繞點B順時針方向旋轉θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A1BC1D1，點A1在邊CD上．

（1）若m=2，n=1，求在旋轉過程中，點D到點D1所經過路徑的長度；

（2）將矩形A1BC1D1繼續繞點B順時針方向旋轉得到矩形A2BC2D2，點D2在BC的延長線上，設邊A2B與CD交于點E，若=﹣1，求的值．

Answer 1

【答案】（1）D到點D1所經過路徑的長度為π；（2）（負根已經舍棄）．

【解析】（1）作A1H⊥AB于H，連接BD，BD1，則四邊形ADA1H是矩形．解直角三角形，求出∠ABA1，得到旋轉角即可解決問題；

（2）由△BCE∽△BA2D2，推出，可得CE=，由-1推出，推出A1C=，推出BH=A1C=，可得m2-n2=6，可得1-=6，由此解方程即可解決問題；

（1）作A1H⊥AB于H，連接BD，BD1，則四邊形ADA1H是矩形．

∴AD=HA1=n=1，

在Rt△A1HB中，∵BA1=BA=m=2，

∴BA1=2HA1，

∴∠ABA1=30°，

∴旋轉角為30°，

∵BD=，

∴D到點D1所經過路徑的長度=

（2）∵△BCE∽△BA2D2，

∴，

∴CE=

∵-1

∴，

∴A1C=，

∴BH=A1C=，

∴m2-n2=6，

∴m4-m2n2=6n4，

1-=6，

∴（負根已經舍棄）．