Question

如圖，等邊三角形ABC內接于⊙O，連接OA，OB，OC，延長AO，分別交BC于點P，與⊙O交于點D，連接BD，CD．那么：

①四邊形BDCO是菱形，②若⊙O的半徑為r，三角形的邊長為r，

③三角形ODC是等邊三角形，④弧BD的度數為60°，

其中正確的有

1. A.
   1個
2. B.
   2個
3. C.
   3個
4. D.
   4個

Answer 1

D
分析：證明△ABO≌△ACO，可得∠BAD=∠CAD=30°，從而可得BD=CD=AO，可判斷①正確；在Rt△ABD中，根據BD=OB=r，∠BAD=30°，可求出AB，從而判斷②正確；由①可得OC=OD=CD，從而判斷③正確；求出∠BOD的度數，即可判斷④正確；
解答：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC=BC，
在△ABO和△ACO中，
∵，
∴△ABO≌△ACO（SSS），
∴∠BAD=∠CAD=30°，
則在Rt△ABD中，BD=AD=OB，
同理CD=AD=OB，
∵OB=OC=BD=CD，
∴四邊形BDCO是菱形，故①正確；
在Rt△ABD中，AD=2r，BD=r，
∴AB==r，故②正確；
∵CO=OD=CD，
∴△ODC是等邊三角形，故③正確；
∠BOD=2∠BAD=60°，
∴弧BD的度數為60°，故④正確．
綜上可得：①②③④均正確，共4個．
故選D．
點評：本題考查了圓的綜合，涉及了圓周角定理、等邊三角形的性質、解直角三角形及全等三角形的判定與性質，綜合性較強，解答本題的關鍵是掌握各知識點的內容，靈活運用．