Question

（1998•宣武區）已知：⊙O的面積為4π，△ABC內接于⊙O，a、b、c分別是三角形三個內角∠A、∠B、∠C的對邊的長，關于x的方程（a+c）x²-2bx+c-a=0有兩個相等的實數根，cosA，cosB是二次函數y=[m-（

3

-1）]x²-[m+（

3

-1）]x+

3

的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標．求△ABC三邊的長．

Answer 1

分析：先由關于x的方程（a+c）x²-2bx+c-a=0有兩個相等的實數根，得到判別式△=0，進而得到a²+b²=c²，根據勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再利用互余兩角三角函數之間的關系得到sinA=cosB，再根據一元二次方程根與系數的關系及同角三角函數之間的關系求得m的值；將m的值代入方程[m-（

3

-1）]x²-[m+（

3

-1）]x+

3

=0，解方程求出x的值，由圓的面積公式求出△ABC的外接圓半徑R，得到斜邊為2R，進而求得兩直角邊的長度．

解答：解：∵關于x的方程（a+c）x²-2bx+c-a=0有兩個相等的實數根，
∴（-2b）²-4（a+c）（c-a）=0，
整理，得a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinA=cosB．
∵cosA，cosB是二次函數y=[m-（

3

-1）]x²-[m+（

3

-1）]x+

3

的圖象與x軸的兩個交點的橫坐標，
∴sinA、cosA是關于x的方程[m-（

3

-1）]x²-[m+（

3

-1）]x+

3

=0的兩個根，
∴

sinA+cosA= m+ 3 -1 m- 3 +1 sinA•cosA= 3 m- 3 +1

，
又∵sin²A+cos²A=1，
∴（sinA+cosA）²-2sinA•cosA=1，
∴（

m+ 3 -1

m- 3 +1

）²-2×

3

m- 3 +1

=1，
整理，得（4-2

3

）m=6-2

3

，
解得m=3+

3

，
經檢驗，m=3+

3

是原方程的根，
當m=3+

3

時，原方程變為4x²-（2+2

3

）x+

3

=0，
解得x₁=

1

2

，x₂=

3

2

，
∵△ABC的外接圓面積為4π，
∴外接圓半徑R=2，
∴斜邊c=4．
∴另外兩直角邊為2，2

3

．

點評：本題考查了二次函數的性質，勾股定理的逆定理，互余兩角、同角的三角函數之間的關系，一元二次方程根與系數的關系，綜合性較強，難度適中．