Question

如圖，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米（a＞3）．動點M，N同時從B點出發，分別沿B?A，B?C運動，速度是1厘米/秒．過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q．當點N到達終點C時，點M也隨之停止運動．設運動時間為t秒．
（1）若a=4厘米，t=1秒，則PM=

 

厘米；
（2）若a=5厘米，求時間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；
（3）若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；
（4）是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）容易知道△ANB∽△APM，利用相似三角形的對應邊成比例就可以求出PM；
（2）若PNB∽△PAD，則

NB

AD

=

PN

PA

，而

PN

PA

=

BM

AM

，∴

NB

AD

=

BM

AM

這樣就可以求出t，也可以求出相似比；
（3）首先利用△AMP∽△ABN把QM，PM用t表示，然后就可以用t表示梯形PMBN與梯形PQDA的面積，根據已知可以得到關于t的方程，最后就可以根據t與a的關系式就可以討論t的取值范圍了；
（4）根據（3）已經得到t的取值范圍，再根據梯形PQCN的面積與梯形PMBN的面積相等得到關于t的方程，求出t，再求出a，這樣就可以判斷a的值是否存在．

解答：解：（1）當t=1時，MB=1，NB=1，AM=4-1=3，
∵PM∥BN
∴△ANB∽△APM，
∴

PM

NB

=

AM

AB

，
∴PM=

3

4

．

（2）當t=2時，使△PNB∽△PAD，
∴

NB

AD

=

PN

PA

，
∵

PN

PA

=

BM

AM

，
∴

NB

AD

=

BM

AM

這樣就可以求出t，
相似比為2：3．

（3）∵PM⊥AB，CB⊥AB，∠AMP=∠ABC，△AMP∽△ABN，
∴

PM

BN

=

AM

AB

即

PM

t

=

a-t

a

，∵PM=

t(a-t)

a

，
∵PQ=3-

t(a-t)

a

，
當梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，
即

(QP+AD)DQ

2

=

(MP+BN)BM

2

=

(3- t(a-t) a +3)(a-t)

2

=

( t a (a-t)+t)t

2

，
化簡得t=

6a

6+a

，
∵t≤3，
∴

6a

6+a

≤3，則a≤6，
∴3＜a≤6．

（4）∵3＜a≤6時，梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，
∴梯形PQCN的面積與梯形PMBN的面積相等即可，則CN=PM，
∴

t

a

（a-t）=3-t，
兩邊同時乘以a，得at-t²=3a-at，
整理，得t²-2at+3a=0，
把t=

6a

6+a

代入，整理得9a³-108a=0，
∵a≠0，∴9a²-108=0，
∴a=±2

3

，
所以a=2

3

．
所以，存在a，
當a=2

3

時梯形PMBN與梯形PQDA的面積、梯形PQCN的面積相等．

點評：此題綜合性比較強，考查了相似三角形的性質與判定，梯形的面積公式，列方程解方程等知識．