Question

公式探究題
（1）如圖：用兩種方法求陰影的面積：
方法（一）得

（a+b）²-4ab

．
方法（二）得

（a-b）²

．
（2）比較方法（一）和方法（二）得到的結論是

（a+b）²-4ab=（a-b）²

（用式子表達）
（3）利用上述得到的公式進行計算：已知a+b=

7

，a-b=

3

，求ab和a²+b²的值．

Answer 1

分析：（1）根據陰影部分的面積等于大正方形的面積減去四個長方形的面積或小正方形的面積，兩種情況列式即可；
（2）根據兩種方法列出的陰影部分的面積相等解答；
（3）把a+b，a-b代入公式計算即可求出ab的值，再利用完全平方公式展開計算即可求出a²+b²．

解答：解：（1）如圖：方法（一）得（a+b）²-4ab，
方法（二）得（a-b）²；

（2）結論是（a+b）²-4ab=（a-b）²；
故答案為：（a+b）²-4ab；（a-b）²；（a+b）²-4ab=（a-b）²；

（3）∵a+b=

7

，a-b=

3

，
∴（

7

）²-4ab=（

3

）²，
解得ab=1，
（a+b）²=（

7

）²，
即a²+2ab+b²=7，
∴a²+b²=7-2×1=5，
故ab=1，a²+b²=5．

點評：本題考查了完全平方公式的幾何背景，此類題目，利用兩種表示方法表示出陰影部分的面積的得到相等是解題的關鍵．