Question

已知直線y=2x+2與x軸交于點A，與y軸交于點M，點B與點A關于點M成中心對稱，反比例函數的圖象經過點B．
（1）求這個反比例函數的解析式；
（2）將這條直線平移，使它與反比例函數的圖象交于點C，與y軸交于點D，如果BC∥AD，請求出平移的方向和距離；
（3）在第（2）小題的條件下，聯結AC和BD，它們相交于點N，求△BCN的面積．

Answer 1

解：（1）把x=0代入y=2x+2得y=2；把y=0代入y=2x+2得2x+2=0，解得x=-1，則A點坐標為（-1，0）M點坐標為（0，2），
∵點B與點A關于點M成中心對稱，
∴B點坐標為（1，4），
把B（1，4）代入得k=1×4=4，
∴反比例函數的解析式為y=；

（2）如圖，作BE⊥x軸于E，分別過C、D點作x軸、y軸的垂線，它們相交于F點，
∵AB∥DC，AD∥BC，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AB=DC，
易證得Rt△ABE≌Rt△DCF，
∴DF=AE=2，CF=BE=4，
∴C點的橫坐標為2，
把x=2代入y=得y=2，
∴OD=4-2=2，
∴D點坐標為（0，-2），
∴直線AB向下平移4個單位得到BC；

（3）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴△BCN的面積=平行四邊形ABCD的面積，
∵S_△ABD=S_△ADM+S_△BDM=×1×4+×1×4=4，
∴△BCN的面積=×2×4=2．
分析：（1）先確定A點坐標為（-1，0），M點坐標為（0，2），再根據中心對稱的性質得到B點坐標為（1，4），然后運用待定系數法確定反比例函數的解析式；
（2）作BE⊥x軸于E，分別過C、D點作x軸、y軸的垂線，它們相交于F點，由于AB∥DC，AD∥BC，可判斷四邊形ABCD為平行四邊形，則AB=DC，易證得Rt△ABE≌Rt△DCF，
得到DF=AE=2，CF=BE=4，即C點的橫坐標為2，然后根據反比例函數解析式確定C點坐標，則OD=2，D點坐標為（0，-2），所以直線AB向下平移4個單位得到BC；
（3）根據平行四邊形的性質得△BCN的面積=平行四邊形ABCD的面積，然后計算S_△ABD=S_△ADM+S_△BDM=4，則△BCN的面積=×2×4=2．
點評：本題考查了反比例函數的綜合題：掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、平行四邊形的判定與性質．