Question

【題目】如圖，已知AM∥BN，∠A=60°，點P是射線AM上一動點（與點A不重合），BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，分別交射線AM于點C，D．

（1）求∠CBD的度數；
（2）當點P運動時，∠APB：∠ADB的比值是否隨之變化？若不變，請求出這個比值；若變化，請找出變化規律；
（3）當點P運動到某處時，∠ACB=∠ABD，求此時∠ABC的度數．

Answer 1

【答案】（1）60°；（2）不變，2：1，見解析；（3）30°

【解析】

（1）根據角平分線的定義只要證明∠CBD=∠ABN即可；
（2）不變．可以證明∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN=∠PBN；
（3）想辦法證明∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN即可解決問題；

（1）∵AM∥BN，
∴∠ABN=180°-∠A=120°，
又∵BC，BD分別平分∠ABP和∠PBN，

∴∠CBD=∠CBP+∠DBP=（∠ABP+∠PBN）=∠ABN=60°．
（2）不變．理由如下：
∵AM∥BN，
∴∠APB=∠PBN，∠ADB=∠DBN，
又∵BD平分∠PBN，
∴∠ADB=∠DBN=∠PBN=∠APB，即∠APB：∠ADB=2：1．
（3）∵AM∥BN，
∴∠ACB=∠CBN，
又∵∠ACB=∠ABD，
∴∠CBN=∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD-∠CBD=∠CBN-∠CBD=∠DBN，
∴∠ABC=∠CBP=∠DBP=∠DBN，
∴∠ABC= ∠ABN=30°．