Question

已知：如圖，直角梯形ABCD中AD∥BC，∠A=90°，CD=CB=2AD．點(diǎn)Q是AB邊中點(diǎn)，點(diǎn)P在CD邊上運(yùn)動(dòng)，以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)作直角∠MPN，∠MPN的兩邊分別與AB邊、CB邊交于點(diǎn)M、N．
（1）若點(diǎn)P與點(diǎn)D重合，點(diǎn)M在線段AQ上，如圖（1）．求證：．
（2）若點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段BQ上，如圖（2）．線段MQ、CN、BC的數(shù)量關(guān)系是：______

Answer 1

【答案】分析：（1）過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，可得四邊形ABED是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等可得BE=AD，設(shè)AD=x，表示出CD=CB=2x，再求出CE=BE，再利用勾股定理列式求出DE，再根據(jù)等角的余角相等求出∠DAM=∠EDN，證明Rt△ADM和Rt△EDN相似，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，然后代入進(jìn)行計(jì)算求出AM、EN的關(guān)系，再表示出MQ、CN并代入MQ-CN整理即可得解；
（2）連接PQ，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于F，設(shè)AD=x，則CD=CB=2x，根據(jù)梯形的中位線平行于底邊并且等于兩底和的一半求出PQ∥AD，PQ=（AD+CB），再根據(jù)（1）得到DE的長(zhǎng)，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得PF∥DE，PF=DE，根據(jù)同角的余角相等求出∠QPM=∠FPN，然后求出△PQM和△PFN相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出MQ和FN的關(guān)系，再表示出CN，整理即可得解．
解答：解：（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，
∵AD∥BC，∠A=90°，
∴四邊形ABED是矩形，
∴BE=AD，
設(shè)AD=x，則CD=CB=2x，
∵CD=CB=2AD=2x，
∴CE=BE=2x-x=x，
∴在Rt△CDE中，根據(jù)勾股定理得，DE===x，
∵∠MPN是直角，
∴∠MDE+∠EDN=90°，
又∵∠ADM+∠MDE=90°，
∴∠DAM=∠EDN，
∴Rt△ADM∽R(shí)t△EDN，
∴=，
即=，
∴EN=AM，
∵點(diǎn)Q是AB邊中點(diǎn)，
∴AQ=AB=DE=x，
∴MQ=AQ-AM=x-AM，
∴MQ-CN=（x-AM）-（x-AM）=x-AM-x+AM=x，
∵CB=2x，
∴x=BC，
∴MQ-CN=BC；

（2）如圖2，連接PQ，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于F，設(shè)AD=x，則CD=CB=2x，
∵點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，點(diǎn)Q是AB的中點(diǎn)，
∴PQ∥AD，PQ=（AD+CB）=（x+2x）=x，
同（1）可求，DE=x，
∵點(diǎn)P是CD中點(diǎn)，
∴PF∥DE，PF=DE=x，CF=CE=x，
又∵∠QPM+∠MPN=∠FPN+∠MPN，
∴∠QPM=∠FPN，
∴△PQM∽△PFN，
∴=，
即=，
∴FN=MQ，
∴CN=CE-FN=x-MQ，
∵CB=2x，
∴x=BC，
∴MQ+CN=BC．
故答案為：MQ+CN=BC．
點(diǎn)評(píng)：本題是相似形綜合題，主要利用了矩形的判定，同角的余角相等的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，梯形的中位線平行于底邊并且等于兩底和的一半，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，但難度不大，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形與相似三角形是解題的關(guān)鍵．