Question

（2002•紹興）如圖，已知平面直角坐標系中三點A（4，0），（0，4），P（x，0）（x＜0），作PC⊥PB交過點A的直線l于點C（4，y）．
（1）求y關于x的函數解析式；
（2）當x取最大整數時，求BC與PA的交點Q坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題已知點的坐標和圖中幾何關系，要求y關于x的函數解析式，得找到相似三角形，由圖中垂直條件易知△BOP∽△PAC，再根據比例關系求出y關于x的函數解析式；
（2）由（1）知函數y的解析式，把x取最大整數時的值代入求得y的值，從而求出Q點坐標．
解答：解：（1）∵BO⊥PO，PC⊥PB，
∴∠PBO+∠BPO=90°，∠BPO+∠APC=90°，
∴∠PBO=∠APC，
∵A（4，0），C（4，y）在l上，
∴∠BOP=∠PAC=90°，
∴△BOP∽△PAC（兩角對應相等，兩三角形相似），
∴，
∴，
∵x＜0，y＜0，
∴，
∴y=-x²+x；

（2）∵x＜0，且x取最大整數，
∴x=-1，
此時y=-×（-1）²-1=-，
∵BO∥l，
∴△BOQ∽△CAQ，
∴，
設Q（a，0），有，5a=16（4-a），
∴a=，
∴Q點的坐標為（，0）．
點評：此題考查一次函數的性質及相似三角形的性質，第一問較新穎，求出函數的關系式，為下題作鋪墊，同時又轉化為求函數最值的問題．