Question

操作探究：

（1）現有一塊等腰三角形紙板，量得周長為32cm，底比一腰多2cm．若把這個三角形紙板沿其對稱軸剪開，拼成一個四邊形，請畫出你能拼成的各種四邊形的示意圖

（2）計算拼成的各個四邊形的兩條對角線長的和．

（3）另用紙片制作一個直角邊為4的等腰Rt△OPQ,將（1）中的剪得的Rt△ABD紙片的直角頂點D和PQ的中點M重合（如圖所示），以M為旋轉中心，旋轉Rt△ABD紙片，Rt△ABD紙片的兩直角邊與⊿POQ的兩直角邊分別交于點E、F. 連接EF，探究：在旋轉三角形紙板的過程中，△EOF的周長是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。請說明理由。

 

Answer 1

【答案】

探究畫圖；19.6；4+2

【解析】

試題分析：（1）

(2) 設AB＝AC＝xcm，則BC＝（x＋2）cm，由題意得解得x＝10cm．因此AB＝AC＝10cm，則BC＝12cm，過點A作AD⊥BC于D，∴BD＝CD＝6cm，∴AD＝8cm．

可以拼成四種四邊形，如上圖所示．

如圖⑴，兩對角線之和為10＋10＝20cm；

如圖⑵，AD＝，∴兩對角線和為；

如圖⑶，BC＝，∴兩對角線和為；

如圖⑷，∵，∴CO＝4.8cm，CD＝9.6cm．∴兩對角線之和為19.6cm．8分

(3)答：△EOF的周長存在最小值理由是:連接OM 

∵ Rt⊿POQ中，OP="OQ" =4,M是PQ的中點

∴OM=PM=PQ=2

∠POM=∠FOM=∠P=45°  ∵∠PME+∠EMO=∠OMF+∠EMO

∴∠PME=∠OMF   ⊿PME≌⊿OMF 

∴ ME=MF

∴ PE=OF   ∴OE+OF=OE+PE=OP=4

令OE=x  EF=y則y²=x²+(4－x)²=2x²－8x+16

=2(x－2)²+8≥8

當x=2時y²有最小值=8從而 y≥2

故△EOF的周長存在最小值，其最小值是4+2                        

考點：全等三角形的性質和判定

點評：解答本題的關鍵是熟練掌握判定兩個三角形全等的一般方法：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．