Question

（2006•江西）一條拋物線y=x²+mx+n經過點（0，）與（4，）．
（1）求這條拋物線的解析式，并寫出它的頂點坐標；
（2）現有一半徑為1，圓心P在拋物線上運動的動圓，當⊙P與坐標軸相切時，求圓心P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）將已知點的坐標代入拋物線中即可得出二次函數的解析式．進而可求出拋物線的頂點坐標；
（2）本題要分兩種情況進行討論：
①當圓與y軸相切時，那么圓心的橫坐標的絕對值為1，可將其橫坐標（分正負兩個）代入拋物線的解析式中，即可求出P點的坐標；
②當圓與x軸相切時，那么圓心的縱坐標的絕對值為1，然后仿照①的方法即可求出P點的坐標．
解答：解：（1）由拋物線過（0，），（4，）兩點，
得，
解得．
∴拋物線的解析式是：y=x²-x+，（3分）
由y=x²-x+=（x-2）²+，得拋物線的頂點（2，）；

（2）設點P的坐標為（x，y）
①當圓P與y軸相切時，有|x|=1，
∴x=±1
由x=1，得y=×1-1+=
由x=-1，得y=×（-1）²-（-1）+=
此時，點P的坐標為P₁（1，），P₂（-1，）；
②當圓P與x軸相切時，有|y|=1
∵拋物線的開口向上，頂點在x軸的上方，y＞0，∴y=1
由y=1，得x²-x+=1
解得x=2±
此時，點P的坐標為P₁（2-，1），P₄（2+，1）
綜上所述，圓心P的坐標為P₁（1，），P₂（-1，），P₃（，1），P₄（，1）．
點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定以及切線的判定，要注意的是（2）題中要分與x軸相切和與y軸相切兩種情況進行討論，不要漏解．