Question

（2005•衢州）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點A的坐標為（1，0），以CD為直徑，在矩形ABCD內作半圓，點M為圓心．設過A、B兩點拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，頂點為點N．
（1）求過A、C兩點直線的解析式；
（2）當點N在半圓M內時，求a的取值范圍；
（3）過點A作⊙M的切線交BC于點F，E為切點，當以點A、F，B為頂點的三角形與以C、N、M為頂點的三角形相似時，求點N的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據矩形的性質及A點坐標可求出C點坐標，再根據A、C兩點的坐標用待定系數法即可求出過A、C兩點直線的解析式．
（2）矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點A的坐標為（1，0），可求出B、D、M、E點的坐標，根據拋物線與坐標軸交于A、B兩點故可設出拋物線的交點式，根據交點式可求出N點坐標，由拋物線、半圓的軸對稱可知，拋物線的頂點在過點M且與CD垂直的直線上，又點N在半圓內，即可求出a的取值范圍．
（3）根據切線的性質定理、矩形的邊長及勾股定理可求出△各邊的長，因為在△ABF與△CMN均為直角三角形，故應分兩種情況討論即△ABF∽△CMN，△ABF∽△NMC，同時在討論時還要考慮到N在CD的下方與上方的情況．
解答：解：（1）因為在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，點A的坐標為（1，0），
所以B（4，0），C（4，2），
設過A，C兩點的直線解析式為y=kx+b，
把A，C兩點代入得，
解得，
故過點A、C的直線的解析式為y=x-．

（2）由拋物線過A，B兩點，可設拋物線的解析式為y=a（x-1）（x-4），
整理得，y=ax²-5ax+4a．
∴頂點N的坐標為（，-）．
由拋物線、半圓的軸對稱可知，拋物線的頂點在過點M且與CD垂直的直線上，又點N在半圓內，
＜-＜2，
解這個不等式，得-＜a＜-．

（3）設EF=x，則CF=x，BF=2-x，AF=2+x，AB=3，
在Rt△ABF中，由勾股定理AB²+BF²=AF²，
得x=，BF=，
①由△ABF∽△CMN得，=，即MN==．
當點N在CD的下方時，由-=2-=，求得N1（，）．
當點N在CD的上方時，由-=2+=，求得N ₂（，）．
②由△ABF∽△NMC得，=即MN==．
當點N在CD的下方時，由-=2-=-，求得N₃（，）．
當點N在CD的上方時，由-=2+=，求得N₄（，）．
點評：此題比較復雜，綜合性較強，綜合考查了圓、一次函數、二次函數的性質，是一道難度較大的題目．