Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AE∥BC，CE⊥AE，垂足為E．

（1）求證：△ABD≌△CAE；
（2）連接DE，線段DE與AB之間有怎樣的位置和數(shù)量關(guān)系？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB=AC，

∴∠B=∠ACD，

∵AE∥BC，

∴∠EAC=∠ACD，

∴∠B=∠EAC，

∵AD是BC邊上的中線，

∴AD⊥BC，

∵CE⊥AE，

∴∠ADC=∠CEA=90°

在△ABD和△CAE中

∴△ABD≌△CAE（AAS）

（2）證明：AB=DE，AB∥DE，如右圖所示，

∵AD⊥BC，AE∥BC，

∴AD⊥AE，

又∵CE⊥AE，

∴四邊形ADCE是矩形，

∴AC=DE，

∵AB=AC，

∴AB=DE．

∵AB=AC，

∴BD=DC，

∵四邊形ADCE是矩形，

∴AE∥CD，AE=DC，

∴AE∥BD，AE=BD，

∴四邊形ABDE是平行四邊形，

∴AB∥DE且AB=DE．

【解析】（1）運用AAS證明△ABD≌△CAE；（2）易證四邊形ADCE是矩形，所以AC=DE=AB，也可證四邊形ABDE是平行四邊形得到AB=DE．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．