Question

已知：△ABC中，∠BCA=2∠BAC，將△ABC繞點A逆時針轉α角得到△ANM．
（1）如圖，當AB⊥MC且AB=MC時，求∠BCA的度數；
（2）若∠BAC=20°，求旋轉角α為何值時，可使四邊形ACMN為梯形．

Answer 1

分析：（1）利用旋轉的性質得出四邊形NMCA為等腰梯形，設∠BAC=x，則∠NAC=3x=∠MCA，得出8x=180°，進而得出∠BCA=2x=45°；
（2）分別根據①當MN∥AC時，②當AN∥CM時，分別求出旋轉角α的度數即可．

解答：解：（1）由題意得出：△ABC≌△ANM，
∴AM=AC，∠NMA=∠ACB，
又∵AB⊥MC，
∴∠MAB=∠CAB，
∴∠MAC=2∠BAC，
∴∠NMA=∠MAC，
∴MN∥AC，
又∵AN=AB=MC，
∴四邊形NMCA為等腰梯形，
∴∠MCA=∠NAC，設∠BAC=x，
則∠NAC=3x=∠MCA，
又∵AM=AC，
∴∠AMC=∠ACM=3x，
∵∠AMN=2x，∴8x=180°，
∴x=22.5°，
∴∠BCA=2x=45°；

（2）①當MN∥AC時，∠MAC=∠AMN=2∠BAC，
又∵∠BAC=20°，
∴∠MAC=40°，即α=40°，
②如圖所示：當AN∥CM時，∠AMC=∠NAM=20°，
又∵AC=AM，
∴∠ACM=∠AMC=20°，
又∵∠NAC+∠ACM=180°，
∠NAM=20°，∠AMC=20°，∴∠CAM=140°，
即α=140°，
綜上所述，當旋轉角α為40°或140°時，可使四邊形ACMN為梯形．

點評：此題主要考查了旋轉的性質以及等腰梯形的性質和三角形內角和定理等知識，根據圖形利用分類討論得出是解題關鍵．