Question

如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O交AC邊于點D，且過點D的切線DE平分BC邊．

(1)BC與⊙O是否相切？請說明理由；

(2)當△ABC滿足什么條件時，以點O、B、E、D為頂點的四邊形是平行四邊形？并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)要判斷BC與⊙O是否相切，只需判斷∠ABC是否等于90°；(2)可進行逆向思維：若四邊形OBED是平行四邊形，則應有OD∥BC．由(1)知∠ABC＝90°，所以∠AOD＝90°．而OA＝OD，所以∠A＝∠ADO＝45°，從而可得△ABC為等腰直角三角形． 　　解：(1)BC與⊙O相切． 　　理由：連接OD、BD． 　　因為DE切⊙O于點D，AB為直徑，所以∠EDO＝∠ADB＝90°． 　　因為DE平分CB，所以DE＝BC＝BE．所以∠EBD＝∠EDB． 　　又因為∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋∠EDB＝90°，所以∠OBD＋∠EBD＝90°，即∠ABC＝90°．所以BC與⊙O相切． 　　(2)當△ABC為等腰直角三角形(∠ABC＝90°)時，四邊形OBED是平行四邊形． 　　理由：因為△ABC是等腰直角三角形(∠ABC＝90°)，所以AB＝BC． 　　因為BD⊥AC于點D，所以D為AC的中點．所以OD＝BC＝BE，OD∥BC． 　　所以四邊形OBED是平行四邊形．