Question

已知拋物線y＝x²＋4x＋m(m為常數)經過點(0，4)．

(1)求m的值；

(2)將該拋物線先向右、再向下平移得到另一條拋物線．已知平移后的拋物線滿足下述兩個條件：它的對稱軸(設為直線l₂)與平移前的拋物線的對稱軸(設為直線l₁)關于y軸對稱；它所對應的函數的最小值為－8．

①試求平移后的拋物線的解析式；

②試問在平移后的拋物線上是否存在點P，使得以3為半徑的圓P既與x軸相切，又與直線l₂相交？若存在，請求出點P的坐標，并求出直線l₂被圓P所截得的弦AB的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)代入(0，4)得m＝4； 　　(2)①平移前對稱軸l1為x＝－2，平移后對稱軸l2為x＝2，最小值為－8，故拋物線方程為y＝(x－2)2－8． 　　②設P的坐標為(x0，y0)，則y0＝－3，x0＝2±或y0＝3，x0＝2± 　　又P到x＝2的距離小于3，故x0＝2±舍去， 　　綜上，存在這樣的點P，且點P的坐標為(－3，2±)．