Question

如圖，BD是⊙O的直徑，OA⊥OB，M是劣弧上一點，過點M作⊙O的切線MP交OA的延長線于P點，MD與OA交于N點．
（1）求證：PM=PN；
（2）若BD=4，PA=AO，過點B作BC∥MP交⊙O于C點，求BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OM，MP是圓的切線，OM⊥PM，由角的等量關系可證∠DMP=∠MNP，由此得證．
（2）設BC交OM于E，已知直徑BD的長，即可得到半徑OA、OM的長，根據PA、OA的比例關系，可求出PA、PO的長，通過證△POM∽△OBE，根據相似三角形所得比例線段即可求出BE的長，從而根據垂徑定理求出BC的值．
解答：（1）證明：連接OM，
∵MP是圓的切線，∴OM⊥PM，
∴∠OMD+∠DMP=90°，
∵OA⊥OB，
∴∠OND+∠ODM=90°，
∵∠MNP=∠OND，∠ODM=∠OMD，
∴∠DMP=∠MNP，
∴PM=PN．

（2）解：設BC交OM于E，
∵BD=4，OA=OB=BD=2，
∴PA=3，
∴PO=5；
∵BC∥MP，OM⊥MP，
∴OM⊥BC，∴BE=BC；
∵∠BOM+∠MOP=90°，
在直角三角形OMP中，
∠MPO+∠MOP=90°，
∴∠BOM=∠MPO；
∵∠BEO=∠OMP=90°，
∴△OMP∽△BEO，
∴，即=，
解得：BE=，
∴BC=．
點評：本題主要考查切線的性質和相似三角形的有關知識，題不是很難，做題要細心．