Question

觀察下列等式；

1

1×2

=1-

1

2

，

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

3×4

=

1

3

-

1

4

將以上三個(gè)等式兩邊分別相加得；

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

=1-

1

2

+-

1

3

+

1

3

-

1

4

=1-

1

4

=

3

4

．
（1）猜想并寫出

1

n(n+1)

=

 

；
（2）計(jì)算

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2009×2010

；
（3）計(jì)算

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+…+

1

90

；
（4）計(jì)算

1

4

+

1

12

+

1

24

+

1

40

+…+

1

180

．

Answer 1

分析：（1）由規(guī)律得

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

；
（2）由（1）的規(guī)律，分別將每一個(gè)式子寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的形式，再計(jì)算；
（3）逆用規(guī)律，再計(jì)算；
（4）根據(jù)

1

4

+

1

12

+

1

24

+

1

40

+…+

1

180

=

1

2

（

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+…+

1

90

）計(jì)算即可．

解答：解：（1）

1

n

-

1

n+1

（2分）
（2）原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2009

-

1

2010

=1-

1

2010

=

2009

2010

（6分）
（3）原式=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

9×10

=1-

1

10

=

9

10

（10分）
（4）原式=

1

2

×

1

2

+

1

2

×

1

6

+

1

2

×

1

12

+…+

1

2

×

1

90

=

1

2

（

1

2

+

1

6

+

1

12

+

1

20

+…+

1

90

）
=

1

2

×

9

10

=

9

20

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用規(guī)律解題，解決此題的關(guān)鍵是題目給出的規(guī)律：

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

．