Question

如圖，AB為⊙O的直徑，D是弧BC的中點，DE⊥AC交AC的延長線于E，⊙O的切線BF交AD的延長線于F．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE=3，⊙O的半徑為5．求BF的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BC、OD，由D是弧BC的中點，可知：OD⊥BC；由OB為⊙O的直徑，可得：BC⊥AC，根據DE⊥AC，可證OD⊥DE，從而可證DE是⊙O的切線；
（2）在Rt△ABC中，運用勾股定理可將愛那個AC的長求出，運用切割線定理可將AE的長求出，根據△AED∽△ABF，可將BF的長求出．
解答：（1）證明：連接OD，BC，OD與BC相交于點G，
∵D是弧BC的中點，
∴OD垂直平分BC，
∵AB為⊙O的直徑，
∴AC⊥BC，
∴OD∥AE．
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∵OD為⊙O的半徑，
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：由（1）知：OD⊥BC，AC⊥BC，DE⊥AC，
∴四邊形DECG為矩形，
∴CG=DE=3，
∴BC=6．
∵⊙O的半徑為5，
∴AB=10，
∴AC==8，
由（1）知：DE為⊙O的切線，
∴DE²=EC•EA，即3²=（EA-8）EA，
解得：AE=9．
∵D為弧BC的中點，
∴∠EAD=∠FAB，
∵BF切⊙O于B，
∴∠FBA=90°．
又∵DE⊥AC于E，
∴∠E=90°，
∴∠FBA=∠E，
∴△AED∽△ABF，
∴，
∴，
∴BF=．
點評：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．