Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點M、N．AH⊥MN于點H．

（1）當∠MAN繞點A旋轉到BM=DN時，請你直接寫出線段AH與AB的數量關系______．（不需證明）

（2）當∠MAN繞點A旋轉到BM≠DN時，問（1）中線段AH與AB的數量關系還成立嗎？若成立，給出證明，若不成立，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）AH=AB （或相等）;（2）成立.

【解析】

（1）由三角形全等可以證明AH=AB；

（2）延長CB至E，使BE=DN，證明△AEM≌△ANM，能得到AH=AB．

（1）如圖①AH=AB．證明如下：

∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠B=90°．

在Rt△ABM和Rt△ADN中，∵，∴Rt△ABM≌Rt△ADN，∴AM=AN，∠BAM=∠DAN．

∵AH⊥MN，∴∠NAH=∠MAH．

∵∠MAN=45°，∴∠NAH=∠MAH=22.5°，∠BAM+∠DAN=45°，∴∠BAM=∠DAN=22.5°，∴∠BAM=∠HAM．

在△BAM和△HAM中，∵∠BAM=∠HAM，∠B=∠AHM=90°，AM=AM，∴△BAM≌△HAM，∴AB=AH．

（2）數量關系成立．如圖②，延長CB至E，使BE=DN．

∵ABCD是正方形，∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°．

在Rt△AEB和Rt△AND中，∵，∴Rt△AEB≌Rt△AND，∴AE=AN，∠EAB=∠NAD．

∵∠DAN+∠BAM=45°，∴∠EAB+∠BAM=45°，∴∠EAN=45°，∴∠EAM=∠NAM=45°．

在△AEM和△ANM中，∵，∴△AEM≌△ANM，∴S△AEM=S△ANM，EM=MN．

∵AB、AH是△AEM和△ANM對應邊上的高，∴AB=AH．