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如圖,四邊形ABCD是正方形,△ABE是等邊三角形,M為對角線BD(不含B點)上任意一點,將BM繞點B逆時針旋轉60°得到BN,連接EN、AM、CM.
(1)求證:△AMB≌△ENB;
(2)①當M點在何處時,AM+CM的值最小;
②當M點在何處時,AM+BM+CM的值最小,并說明理由;
(3)當AM+BM+CM的最小值為時,求正方形的邊長.

【答案】分析:(1)由題意得MB=NB,∠ABN=15°,所以∠EBN=45°,容易證出△AMB≌△ENB;
(2)①根據“兩點之間線段最短”,可得,當M點落在BD的中點時,AM+CM的值最小;
②根據“兩點之間線段最短”,當M點位于BD與CE的交點處時,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長(如圖);
(3)作輔助線,過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F,由題意求出∠EBF=30°,設正方形的邊長為x,在Rt△EFC中,根據勾股定理求得正方形的邊長為
解答:(1)證明:∵△ABE是等邊三角形,
∴BA=BE,∠ABE=60°.
∵∠MBN=60°,
∴∠MBN-∠ABN=∠ABE-∠ABN.
即∠MBA=∠NBE.
又∵MB=NB,
∴△AMB≌△ENB(SAS).(5分)

(2)解:①當M點落在BD的中點時,A、M、C三點共線,AM+CM的值最小.(7分)
②如圖,連接CE,當M點位于BD與CE的交點處時,
AM+BM+CM的值最小.(9分)
理由如下:連接MN,由(1)知,△AMB≌△ENB,
∴AM=EN,
∵∠MBN=60°,MB=NB,
∴△BMN是等邊三角形.
∴BM=MN.
∴AM+BM+CM=EN+MN+CM.(10分)
根據“兩點之間線段最短”,得EN+MN+CM=EC最短
∴當M點位于BD與CE的交點處時,AM+BM+CM的值最小,即等于EC的長.(11分)

(3)解:過E點作EF⊥BC交CB的延長線于F,
∴∠EBF=∠ABF-∠ABE=90°-60°=30°.
設正方形的邊長為x,則BF=x,EF=
在Rt△EFC中,
∵EF2+FC2=EC2
∴(2+(x+x)2=.(12分)
解得,x1=,x2=-(舍去負值).
∴正方形的邊長為.(13分)
點評:本題考查軸對稱的性質和正方形的性質,是一道綜合性的題目難度很大.
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(1)求證:PA=PC.
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(I)求證:AE=EF;
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