Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c的頂點M的坐標是（1，3），且與y軸相交于點C（0，2），P（1，1）是拋物線對稱軸上的一點．請回答下列問題：
（1）寫出拋物線的解析式______；
（2）點Q是拋物線上的一點，且使△CPQ的面積等于△CMP的面積，則所有滿足條件的點Q的個數為：______．

Answer 1

（1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）²+3，
把C（0，2）代入得，a+3=2，解得a=-1，
∴拋物線的解析式為y=-（x-1）²+3=-x²+2x+2．
故答案為y=-x²+2x+2．

（2）∵△CPQ的面積等于△CMP的面積，
∴點Q到CP的距離等于點M到CP的距離，即點Q在與PC平行且到CP的距離等于點M到CP的距離的兩條平行直線上，如圖，
設直線PC的解析式為y=kx+b，
把C（0，2），P（1，1）代入得，k+2=1，b=2，解得k=-1，
∴直線PC的解析式為y=-x+2，
又∵MQ₁∥PC，
∴設直線MQ₁的解析式為y=-x+b，
把M（1，3）代入得b=4，
∴直線MQ₁的解析式為y=-x+4，
聯立

y=-x2+2x+2 y=-x+4

，解得

x1=1 y1=3

，

x2=2 y2=2

，
∴Q₁的坐標為（2，2）；
直線MQ₁y=-x+4與y軸的交點N的坐標為（0，4），所以把直線MQ₁向下平移4個單位后與PC的距離不變，此時平移后的直線的解析式為y=-x，設它與拋物線的交
點為Q₂，Q₃，如圖，
聯立

y=-x2+2x+2 y=-x

，解得

x1= 3+ 17 2 y1= -3- 17 2

，

x2= 3- 17 2 y2= -3+ 17 2

，
∴Q₂的坐標為（

3- 17

2

，

-3+ 17

2

），Q₃的坐標為（

3+ 17

2

，

-3- 17

2

）；
所以滿足條件的點Q的個數有三個．
故答案為y=-x²+2x+2；3．