Question

【題目】如圖，△ABC在平面直角坐標系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，A的坐標是（0，m）（m＜0），點C的坐標是（2，0），點B在x軸上方．

（1）如圖1所示，若點B在y軸上，則m的值是　 　；

（2）如圖2所示，BC與y軸交于點D．

①若m＝﹣6，求點B的坐標；

②若y軸恰好平分∠BAC，求OD的長．

Answer 1

【答案】（1）-2；（2）①B（﹣4，2）；②OD＝2﹣2．

【解析】

（1）利用等腰直角三角形的性質和判定解答即可；

（2）①如圖2﹣1中，作BH⊥x軸于H．利用余角的性質可得∠BCH＝∠OAC，然后根據AAS即可證明△BHC≌△COA，進一步利用全等三角形的性質即可求出結果；

②如圖2﹣2中，在OA截取一點F，使得OF＝OC，則OF和FC可得，由角平分線的性質和三角形的外角性質可得△AFC是等腰三角形，于是OA可得，易證△COD∽△AOC，然后利用相似三角形的性質即可求出結果．

解：（1）如圖1中，∵CB＝CA，OC⊥AB，∴∠OCB＝∠OCA＝45°，

∴OA＝OC＝2，∴A（0，﹣2），∴m＝﹣2．

故答案為﹣2；

（2）①如圖2﹣1中，作BH⊥x軸于H．

∵∠AOC＝∠BHC＝∠ACB＝90°，

∴∠BCH+∠ACO＝90°，∠ACO+∠OAC＝90°，

∴∠BCH＝∠OAC，

∵BC＝AC，∴△BHC≌△COA（AAS），

∴BH＝OC＝2，CH＝OA＝6，

∴OH＝CH﹣OC＝4，

∴B（﹣4，2）；

②如圖2﹣2中，在OA截取一點F，使得OF＝OC．

∵OF＝OC＝2，∠FOC＝90°，∴FC＝2，∠OFC＝∠OCF＝45°，

∵AD平分∠CAB，∴∠DAC＝∠CAB＝22.5°，

∵∠OFC＝∠FAC+∠FCA，∴∠FCA＝22.5°，

∴∠FAC＝∠FCA＝22.5°，

∴AF＝CF＝2，

∴OA＝2+2，∴A（0，﹣2﹣2），

∵∠DCO＝∠OAC，∠COD＝∠AOC＝90°，

∴△COD∽△AOC，∴，即，

∴OD＝2﹣2．