Question

已知二次函數y=x²+bx+c圖象的對稱軸是直線x=2，且過點A（0，3）．
（1）求b、c的值；
（2）求出該二次函數圖象與x軸的交點B、C的坐標；
（3）如果某個一次函數圖象經過坐標原點O和該二次函數圖象的頂點M．問在這個一次函數圖象上是否存在點P，使得△PBC是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把點A的坐標和對稱軸代入即可；
（2）把y=0代入解一元二次方程即可；
（3）根據直角三角形的性質，設P點的坐標是（x，-x），由勾股定理即可求出Q、H的坐標；把x=1或3代入即可求出另外的坐標．
解答：解：（1）二次函數y=x²+bx+c圖象的對稱軸是直線x=2，且過點A（0，3），
代入得：-=2，3=c，
解得：b=-4，c=3，
答：b=-4，c=3．

（2）把b=-4，c=3代入得：y=x²-4x+3，
當y=0時，x²-4x+3=0，
解得：x₁=3，x₂=1，
B？（3，0），C（1，0），
答：二次函數圖象與x軸的交點B、C的坐標分別是（3，0），（1，0）．

（3）存在：
理由是：y=x²-4x+3，
=（x-2）²-1，
頂點坐標是（2，-1），
設一次函數的解析式是y=kx+b，
把（0，0），（2，-1）代入得：
，
解得：，
∴y=-x，
設P點的坐標是（x，-x），
取BC的中點M，以M為圓心，以BM為半徑畫弧交直線于Q、H，
則Q、H符合條件，由勾股定理得；
（x-2）²+=1²，
解得：x₁=，x₂=2，
∴Q（，-），H（2，-1）；
過B作BF⊥X軸交直線于F，
把x=3代入y=-x得：y=-，
∴F（3，-），
過C作CE⊥X軸交直線于E，
同法可求：E（1，-），
∴P的坐標是（，-）或（2，-1）或（3，-）或（1，-）．
答：存在，P的坐標是（，-）或（2，-1）或（3，-）或（1，-）．
點評：本題主要考查了二次函數圖象上點的坐標特征，用待定系數法求一次函數的解析式，直角三角形斜邊上中線等知識點，解此題的關鍵是求出點P的坐標，此題難度較大．用的數學思想是分類討論思想．