Question

23、我們曾經證過《幾何》第三冊第145頁練習第2題，即：
已知：如圖1，⊙O₁與⊙O₂相切于點T，直線AB、CD經過點T，交⊙O₁于點A、C，交⊙O₂與點B、D，
求證：AC∥BD；
若將條件中的“⊙O₁與⊙O₂相切”變為“⊙O₁與⊙O₂相交”（如圖2所示）其它條件不變，AC∥BD是否還成立，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據弦切角定理可以證明一對內錯角相等，則得到平行；
（2）連接EF，根據圓內接四邊形的對角互補，可以證明一對同旁內角互補，則兩直線平行．

解答：證明：（1）作兩圓的內公切線MN．
則有∠ATM=∠C，∠BTN=∠D．
又∠AMT=∠BNT，
∴∠C=∠D．
∴AC∥BD．

（2）連接EF，則∠CFE=∠B，∠DFE=∠A．
又∠CFE+∠DFE=180°，
∴∠B+∠A=180°．
∴AC∥BD．

點評：在相切兩圓中，作兩圓的公切線是常見的輔助線之一；
在相交兩圓中，連接兩圓的公共弦是常見的輔助線之一．