Question

（2008•宜昌）如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，P是邊AB（含端點）上的動點．過P作BC的垂線PR，R為垂足，∠PRB的平分線與AB相交于點S，在線段RS上存在一點T，若以線段PT為一邊作正方形PTEF，其頂點E，F恰好分別在邊BC，AC上．
（1）△ABC與△SBR是否相似，說明理由；
（2）請你探索線段TS與PA的長度之間的關系；
（3）設邊AB=1，當P在邊AB（含端點）上運動時，請你探索正方形PTEF的面積y的最小值和最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）三角形SBR和ABC中，有一個公共角B，都有一組直角，如果再有一組角相等即可證明兩三角形相似，SR平分∠BRP，那么∠BRS=45°=∠C，因此兩三角形的相似條件湊齊，兩三角形相似；
（2）應該是相等關系，△STP和△APE中，PT=PF，又有一組直角，那么只要再有一組角相等即可得出全等，∠TPS+∠APF=180-90=90°，那么不難證得∠STP=∠APF，因此兩三角形全等，那么TS=PA；
（3）要求正方形FPTE的面積，那么就要求出它的邊長．RS是等腰直角△PRS的高，那么BS=PS，PS=，由（2）證得的全等三角形中我們可得出PS=AF，如果設PA=x，我們就能用x表示出AF的值，直角三角形APF中，我們就能用x表示出PF²，也就得出了y與x的函數關系式，然后確定x的取值范圍，x最小時x=PA=0此時P與A重合，S與T重合，E與R重合．x最大時，T與R重合，此時TS=BS=SP=PA，因此PA=，那么x的范圍就是0≤x≤，然后根據函數的性質和自變量的范圍求出y的最大和最小值．
解答：解：（1）∵RS是直角∠PRB的平分線，
∴∠PRS=∠BRS=45°．
在△ABC與△SBR中，∠C=∠BRS=45°，
∠B是公共角，
∴△ABC∽△SBR．

（2）線段TS的長度與PA相等．
∵四邊形PTEF是正方形，
∴PF=PT，∠SPT+∠FPA=180°-∠TPF=90°，
在Rt△PFA中，∠PFA+∠FPA=90°，
∴∠PFA=∠TPS，
∴Rt△PAF≌Rt△TSP，∴PA=TS．
當點P運動到使得T與R重合時，這時△PFA與△TSP都是等腰直角三角形且底邊相等，即有PA=TS．
由以上可知，線段ST的長度與PA相等．

（3）由題意，RS是等腰Rt△PRB的底邊PB上的高，
∴PS=BS，∴BS+PS+PA=1，∴PS=．
設PA的長為x，易知AF=PS，
則y=PF²=PA²+PS²，得y=x²+（）²，
即y=，
根據二次函數的性質，當x=時，y有最小值為．
如圖2，當點P運動使得T與R重合時，PA=TS為最大．
易證等腰Rt△PAF≌等腰Rt△PSR≌等腰Rt△BSR，
∴PA=．
如圖3，當P與A重合時，得x=0．
∴x的取值范圍是0≤x≤．
∴①當x的值由0增大到時，y的值由減小到
∴②當x的值由增大到時，y的值由增大到．
∵≤≤，
∴在點P的運動過程中，正方形PTEF面積y的最小值是，y的最大值是．
點評：平移、翻折和旋轉是初中幾何重要的三種變換方式，變換之后的幾何圖形與原圖形對應的邊、角均相等．巧妙地運用變換的基本性質或構造變換圖形，均可以使題目的解答簡易而順暢．注意本題中求出二次函數后要討論出x的取值范圍然后再根據自變量的范圍求y的值．