Question

在等腰梯形ABCD中，已知AB=6，BC=，∠A=45°，以AB所在直線為x軸，A為坐標原點建立直角坐標系，將等腰梯形ABCD饒A點按順時針方向旋轉90°得到等腰梯形OEFG（O﹑E﹑F﹑G分別是A﹑B﹑C﹑D旋轉后的對應點）（圖1）（1）寫出C﹑F兩點的坐標；
（2）等腰梯形ABCD沿x軸的負半軸平行移動，設移動后的OA=x（圖2），等腰梯形ABCD與等腰梯形OEFG重疊部分的面積為y，當點D移動到等腰梯形OEFG的內部時，求y與x之間的關系式；
（3）線段DC上是否存在點P，使EFP為等腰三角形？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）C的坐標是（4，2），F的坐標是（﹣2，4）；
（2）過D作DM⊥AB于M，過C作CN⊥AB于N，
圖（1）中，在直角三角形AMD中，AD=2，∠DOM=45°，
因此DM=AM=2，
因此D點的坐標是（2，2），
圖（2），當OA=x時，設DC交y軸于H，AD交GO于Q，
那么DH=x﹣2，
所以梯形AODH的面積=×（DH+OA）×DM=2x﹣2，
△AQO中，根據旋轉的性質及旋轉角度為90度，
可得：∠AQD=90°，
又因為∠QAM=45°，
因此AQ=QO=x，
所以△AQO的面積=×AQ×OQ=x²
因此重合部分的面積y=S_梯形AODH﹣S_△AQO=2x﹣2﹣x²
即：y=﹣x²+2x﹣2（2＜x＜4）；
（3）由于P點在DC線上，設點P的坐標為（m，2），
根據旋轉的性質以及圖（1）中，B、C兩點的坐標可知：E點的坐標是（0，6），F點的坐標是（﹣2，4），
①當以E為頂點，EF、EP為腰時，EF=EP=2，
因此（2）²=m²+（2﹣6）²，
即m²+16=8，此方程無解，
因此不存在這種情況；
②當以F為頂點，EF、FP為腰時，EF=FP=2，
因此（2）²=（m+2）²+（2﹣4）²，
即m（m+4）=0，m=﹣4，m=0，
當m=﹣4時，P點坐標為（﹣4，2），
PE==4=2EF，
因此P、E、F在一條直線上構不成三角形，
因此此時P點的坐標應該是（0，2）；
③當以P為頂點，FP、EP為腰，EP=PF，
因此m²+（2﹣6）²=（m+2）²+（2﹣4）²，
即m=2，那么此時P的坐標為（2，2），
綜上所述，存在符合條件的P點且坐標為（2，2）或（0，2）。