Question

（2013•瑤海區一模）如圖1，在矩形ABCD（AB＜BC）的BC邊上取一點E，使BA=BE，作∠AEF=90°，交AD于F點，易證EA=EF．

（1）如圖2，若EF與AD的延長線交于點F，證明：EA=EF仍然成立；
（2）如圖3，若四邊形ABCD是平行四邊形（AB＜BC），在BC邊上取一點E，使BA=BE，作∠AEF=∠ABE，交AD于F點．則EA=EF是否成立？若成立，請說明理由．
（3）由題干和（1）（2）你可以得出什么結論．

Answer 1

分析：（1）根據矩形性質得出∠B=90°，AD∥BC，求出∠AEB=∠FAE=45°，求出∠FEC=∠AFE=45°，推出∠FAE=∠AFE，即可得出答案；
（2）根據平行四邊形性質得出AD∥BC，推出∠B+∠BAD=180°，求出∠AEB=∠BAE=∠FAE，推出∠FEC=∠AFE，根據等腰三角形的判定推出即可；
（3）根據（1）（2）得出在任意四邊形ABCD中，只要滿足AB＜BC，AD∥BC，在BC邊上取一點E，使BA=BE，作∠AEF=∠ABE，交AD于F點，一定可得EA=EF．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∵AB=BE，
∴∠AEB=∠FAE=45°，
∵∠AEF=90°，
∴∠FEC=180°-90°-45°=45°=∠AFE，
∴∠FAE=∠AFE，
∴EA=EF；

（2）解：EA=EF仍成立，
理由是：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠B+∠BAD=180°，
∵BA=BE，
∴∠AEB=∠BAE=∠FAE，
∵∠AEF=∠ABE，∠AEB+∠AEF+∠FEC=180°，
∴∠FEC=∠AFE，
∴EA=EF；

（3）解：在任意四邊形ABCD中，只要滿足AB＜BC，AD∥BC，在BC邊上取一點E，使BA=BE，作∠AEF=∠ABE，交AD于F點，一定可得EA=EF．

點評：本題考查了等腰三角形的判定，矩形的性質，平行四邊形的性質，平行線的性質的應用，主要考查學生綜合運用定理進行推理的能力．