Question

如圖，AB是⊙O的直徑，M是⊙O上一點，MN⊥AB，垂足為N，P、Q分別是弧AM、弧BM上一點（不與端點重合），已知∠MNP=∠MNQ，下面結論：①∠1=∠2；②∠Q=∠PMN；③∠P+∠Q=180°；④PM=QM；⑤MN²=PN•QN．其中正確的個數有（ ）

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：利用等角的余角相等得到①對．利用垂徑定理，同弧所對的圓周角相等得②對．利用三角形內角和定理得③錯．利用三角形相似得④錯，⑤對．
解答：解：延長QN交圓O于C，延長MN交圓O于D，
如圖∵MN⊥AB，∠MNP=∠MNQ，
則∠1=∠2，故①正確；
∵AB是⊙O的直徑，MN⊥AB，=，
由∠1=∠2，∠ANC=∠2，
∴∠1=∠ANC，
得P，C關于AB對稱，=，=，
∴∠Q=∠PMN，故②正確；
∵∠P+∠PMN＜180°，
∴∠P+∠Q＜180°，故③錯誤；
∵∠MNP=∠MNQ，∠Q=∠PMN，
∴△PMN∽△MQN，
∴MN²=PN•QN，PM不一定等于MQ；
故④錯誤，⑤正確．
故選C．
點評：此題考查了垂徑定理、圓周角定理、相似三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．