Question

如圖，已知R t△ABC，∠ABC=90°，以直角邊AB為直徑作O，交斜邊AC于點D，連接BD．
（1）取BC的中點E，連接ED，試證明ED與⊙O相切．
（2）若AD=3，BD=4，求邊BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD．欲證ED與⊙O相切，只需證明OD⊥DE；
（2）通過相似三角形△BDC∽△ADB的對應邊成比例知=，由此可以求得線段BC的長度．
解答：（1）證明：連接OD．
∵OD=OB（⊙O的半徑），
∴∠OBD=∠BDO（等邊對等角）；
∵AB是直徑（已知），
∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠ADB=∠BDC=90°；
在Rt△BDC中，E是BC的中點，
∴BE=CE=DE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），
∴∠DBE=∠BDE（等邊對等角）；
又∵∠ABC=∠OBD+∠DBE=90°，
∴∠ODE=∠BDO+∠BDE=90°（等量代換）；
∵點D在⊙O上，
∴ED與⊙O相切；

（2）在Rt△ABD中，∵AD=3，BD=4，
∴AB=5（勾股定理）；
在Rt△BDC和Rt△ADB中，∠ADB=∠BDC=90°，∠ABC=90°，
∴∠ABD=∠BCD，
∴△BDC∽△ADB，
∴=．即=，
∴BC=．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質、切線的判定與性質．圓心到一條直線的距離等于該圓的半徑，則該直線就是圓的一條切線．