Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°．點E、F同時從B點出發，沿射線BC向右勻速移動．已知F點移動速度是E點移動速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG．設E點移動距離為x（x＞0）．
（1）△EFG的邊長是______（用含有x的代數式表示），當x=2時，點G的位置在______；
（2）若△EFG與梯形ABCD重疊部分面積是y，求：
①當0＜x≤2時，y與x之間的函數關系式；
②當2＜x≤6時，y與x之間的函數關系式；
（3）探求（2）中得到的函數y在x取含何值時，存在最大值，并求出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等邊三角形的三邊相等，則△EFG的邊長是點E移動的距離；根據等邊三角形的三線合一和F點移動速度是E點移動速度的2倍，即可分析出BF=4，此時等邊三角形的邊長是2，則點G和點D重合；
（2）①當0＜x≤2時，重疊部分的面積即為等邊三角形的面積；
②當2＜x≤6時，分兩種情況：當2＜x＜3時和當3≤x≤6時，進行計算；
（3）分別求得（2）中每一種情況的最大值，再進一步比較取其中的最大值即可．
解答：解：（1）∵點E、F同時從B點出發，沿射線BC向右勻速移動，且F點移動速度是E點移動速度的2倍，
∴BF=2BE=2x，
∴EF=BF-BE=2x-x=x，
∴△EFG的邊長是x；
過D作DH⊥BC于H，得矩形ABHD及直角△CDH，連接DE、DF．
在直角△CDH中，∵∠C=30°，CH=BC-AD=3，
∴DH=CH•tan30°=3×=．
當x=2時，BE=EF=2，
∵△EFG是等邊三角形，且DH⊥BC交點H，
∴EH=HF=1
∴DE=DF==2，
∴△DEF是等邊三角形，
∴點G的位置在D點．
故答案為x，D點；

（2）①當0＜x≤2時，△EFG在梯形ABCD內部，所以y=x²；
②分兩種情況：
Ⅰ．當2＜x＜3時，如圖1，點E、點F在線段BC上，
△EFG與梯形ABCD重疊部分為四邊形EFNM，
∵∠FNC=∠FCN=30°，∴FN=FC=6-2x．∴GN=3x-6．
∵在Rt△NMG中，∠G=60°，GN=3x-6，
∴GM=（3x-6），
由勾股定理得：MN=（3x-6），
∴S_△GMN=×GM×MN=×（3x-6）×（3x-6）=（3x-6）²，
所以，此時y=x²-（3x-6）²=；

Ⅱ．當3≤x≤6時，如圖2，點E在線段BC上，點F在射線CH上，
△EFG與梯形ABCD重疊部分為△ECP，
∵EC=6-x，
∴y=（6-x）²=；
（3）當0＜x≤2時，
∵y=x²，在x＞0時，y隨x增大而增大，
∴x=2時，y_最大=；
當2＜x＜3時，∵y=，在x=時，y_最大=；
當3≤x≤6時，∵y=，在x＜6時，y隨x增大而減小，
∴x=3時，y_最大=．
綜上所述：當x=時，y_最大=．

點評：此題是一道動態題，難度較大，注意不同的情況，能夠熟練求得二次函數的最值．