Question

如圖，△ABC和△ACD是兩個邊長為2的等邊三角形，另一個足夠大的等邊△AEF繞點A旋轉，AE與BC相交于點M，AF與CD相交于點N．
（1）證明：∠DAN=∠CAM； 
（2）求四邊形AMCN的面積；
（3）在△AEF轉動中，∠BAM=______時，MN的值最小？（直接填寫結果，不要求寫推理過程）

Answer 1

【答案】分析：（1）由△ACD和△AEF都是等邊三角形，根據等邊三角形的性質得到∠DAC=∠FAE=60°，同時減去∠CAN即可得結論；
（2）由（1）和等邊三角形的性質得到∠DAN=∠CAM，AD=AC，∠D=∠ACB=60°，易證得△ADN≌△ACM，于是有S_{四邊形AMCN的面積}=S_△ABC=a²，然后把a=2代入計算即可；
（3）由（2）得AN=AM，則△AMN為等邊三角形，MN=AM，當AM⊥BC時，AM最小，即MN最小，此時AM平分∠BCA，于是得到∠BAM=30°．
解答：（1）證明：∵△ACD，△AEF都是等邊三角形，
∴∠CDA=∠EAF=60°，
∴∠CAN+∠DAN=∠CAN+∠CAM，
∴∠DAN=∠CAM；
（2）解：∵△ABC和△ACD是兩個邊長為2的等邊三角形，
∴AD=AC，∠D=∠ACB=60°，
而∠DAN=∠CAM，
∴△ADN≌△ACM，
∴S_{四邊形AMCN的面積}=S_△ABC，
而S_△ABC=×2²=，
∴四邊形AMCN的面積為；
（3）解：30°．
點評：本題考查了等邊三角形的性質：等邊三角形三邊相等；三個角都等于60°；等邊三角形的三線合一；邊長為a的等邊三角形的面積為a²．也考查了全等三角形的判定與性質．