Question

（2012•房山區一模）圖中的拋物線是函數y=x²+1的圖象，把這條拋物線沿射線y=x（x≤0）的方向平移

2

個單位，其函數解析式變為

y=x²+2x+1

；若把拋物線y=x²+1沿射線 y=

1

2

x-1（ x≥0）方向平移

5

個單位，其函數解析式則變為

y=x²-4x+6

．

Answer 1

分析：先求出平移后頂點的坐標，再根據平移不改變二次項系數，即可寫出二次函數的頂點式．

解答：解：設函數y=x²+1的頂點為A，則A（0，1）．
把拋物線y=x²+1沿射線y=x（x≤0）的方向平移

2

個單位，設點A的對應點為點B．
∵AB=

2

，OA=1，∠ABO=45°，
∴OB=1，即點B的坐標為（-1，0），
又∵平移前后二次項系數不變，
∴其函數解析式為：y=（x+1）²，即y=x²+2x+1；
把拋物線y=x²+1沿射線 y=

1

2

x-1（ x≥0）方向平移

5

個單位，設點A的對應點為點C．
過點C作CD⊥x軸于D，過點A作AE⊥CD于E，則AC=

5

，tan∠CAE=

1

2

，
在直角△CAE中，設CE=x，則AE=2x，
由勾股定理，得AE=2，CE=1，
所以CD=CE+DE=1+1=2，
即點C的坐標為（2，2），
又∵平移前后二次項系數不變，
∴其函數解析式為：y=（x-2）²+2，即y=x²-4x+6．
故答案為：y=x²+2x+1；y=x²-4x+6．

點評：本題考查二次函數的平移問題，用到的知識點為：二次函數的平移，不改變二次項的系數；得到新拋物線的頂點是解決本題的易錯點．