Question

如圖，已知二次函數y=ax²+bx的圖象開口向下，與x軸的一個交點為B，頂點A在直線y=x上，O為坐標原點．
（1）證明：△AOB是等腰直角三角形；
（2）若△AOB的外接圓C的半徑為1，求該二次函數的解析式；
（3）對題（2）中所求出的二次函數，在其圖象上是否存在點P（點P與點A不重合），使得△POC是以PC為腰的等腰三角形，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）可過A作x軸的垂線，設垂足為D，由于A是拋物線的頂點，因此A點必在OB的垂直平分線上，而A點在直線y=x上，則AD=OD=BD，由此可證得△AOB是等腰直角三角形；
（2）由（1）知△AOB是等腰Rt△，則其外接圓圓心即為OB的中點，此時C、D重合，若外接圓半徑為1，那么OC=BC=AC=1，由此可求得A、B的坐標，即可用待定系數法求出拋物線的解析式；
（3）若以等腰三角形POC以PC為腰，那么有兩種情況：
①以PC、CO為腰，那么PC=CO，則此時P與A或B重合，當P、A重合時，與題意不符；當P、B重合時，不能構成三角形POC，所以此種情況不存在；
②以OP、CP為腰，那么P點必在OC的垂直平分線上，由此可確定P點的橫坐標，進而可根據拋物線的解析式求出P點的坐標．
解答：解：（1）∵點A在直線y=x上，
∴設點A的坐標為（m，m）
過點A作AD⊥x軸，交x軸于點D，
∵點A是二次函數圖象的頂點，
∴直線AD是其對稱軸，
∴點D是OB的中點．
∴OD=DB=AD，
∴△AOB是等腰直角三角形．

（2）若△AOB的外接圓半徑為1，則OC=BC=AC=1；
∴A（1，1），B（2，0）；
設拋物線的解析式為y=a（x-1）²+1，則有：
a×（2-1）²+1=0，a=-1；
∴拋物線的解析式為y=-（x-1）²+1；

（3）存在，點P（）；
此題要分兩種情況：
①等腰△POC以CO、PC為腰，此時C與A、B重合，顯然此種情況不符合題意；
②等腰△POC以PO、PC為腰，此時P點在CO的垂直平分線上，所以P點的橫坐標為；
代入拋物線的解析式中，得：y=-（-1）²+1=；
∴P點的坐標為（，），
綜合上述兩種情況可知，存在符合條件的P點，且P（，）．
點評：此題主要考查了等腰直角三角形的判定、二次函數解析式的確定以及等腰三角形的構成情況等重要知識．需注意的是（3）題在不確定等腰三角形另一腰的情況下腰分類討論，以免漏解．