Question

如圖，六邊形ABCDEF內接于半徑為r（常數）的⊙O，其中AD為直徑，且AB=CD=DE=FA．
（1）當∠BAD=75°時，求的長；
（2）求證：BC∥AD∥FE；
（3）設AB=x，求六邊形ABCDEF的周長L關于x的函數關系式，并指出x為何值時，L取得最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題要靠輔助線的幫助．連接OB、OC，證明∠COD=∠AOB即可．
（2）連接BD，由（1）得BC∥AD，EF∥AD推出BC∥AD∥FE．
（3）過點B作BM⊥AD于M，由（2）得出四邊形ABCD為等腰梯形，證明△BAM∽△DAB．得出AM、BC、EF的關系然后可求出L的最大值．
解答：（1）解：連接OB、OC，由∠BAD=75°，OA=OB知∠AOB=30°，
∵AB=CD，∴∠COD=∠AOB=30°，
∴∠BOC=120°，（2分）
故的長為．（3分）

（2）證明：連接BD，∵AB=CD，
∴弧AB=弧CD，
∴∠ADB=∠CBD，∴BC∥AD，（5分）
同理EF∥AD，從而BC∥AD∥FE．（6分）

（3）解：過點B作BM⊥AD于M，由（2）知四邊形ABCD為等腰梯形，從而BC=AD-2AM=2r-2AM．（7分）
∵AD為直徑，∴∠ABD=90°，易得△BAM∽△DAB，∴AM：AB=AB：AD，
∴AM==，∴BC=2r-，同理EF=2r-，（8分）
∴L=4x+2（2r-）=-x²+4x+4r=-（x-r）²+6r，其中0＜x＜，（9分）
∴當x=r時，L取得最大值6r．（10分）
點評：本題考查的是相似三角形的性質，弧長的計算以及二次函數的綜合運用，難度較大．