Question

（2007•莆田）在正方形ABCD中，點E是AD上一動點，MN⊥AB分別交AB，CD于M，N，連接BE交MN于點O，過O作OP⊥BE分別交AB，CD于P，Q．
探究：（1）如圖①，當點E在邊AD上時，請你動手測量三條線段AE，MP，NQ的長度，猜測AE與MP+NQ之間的數量關系，并證明你所猜測的結論；
探究：（2）如圖②，若點E在DA的延長線上時，AE，MP，NQ之間的數量關系又是怎樣請直接寫出結論；
再探究：（3）如圖③，連接并延長BN交AD的延長線DG于H，若點E分別在線段DH和射線HG上時，請在圖③中完成符合題意的圖形，并判斷AE，MP，NQ之間的數量關系又分別怎樣？請直接寫出結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）過Q作QQ'⊥AB于Q'，則∠MQ′Q=90°，證明四邊形AMND為矩形，然后又證明四邊形MNOQ′為矩形，最后可證明△BAE≌△QQ′P后可證得AE=MP+NQ．
（2）畫出圖形可得若點E在DA的延長線上時，結論為AE=QN-MP
（3）畫出輔助線，可得若點E₁在線段DH上時，結論為AE₁=MP₁+NQ₁；當點E₂在射線HG上時，推出AE₂=MP₂-NQ₂．
解答：解：（1）如圖①結論：AE=MP+NQ．（2分）
證明：過Q作QQ'⊥AB于Q'，
則∠MQ′Q=90°，
∵MN⊥AB，
∴∠AMN=90°，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴四邊形AMND為矩形，
∴MN=AD=AB，
∴∠Q′MN=∠QNM=90°，
∴四邊形MNQQ′為矩形，
∴QQ′=MN=AB，NQ=Q′M，（3分）
在△BAE和△QQ′P中，
∵PQ⊥BE，
∴∠Q′QP+∠Q′PQ=90°，
∵∠ABE+∠Q′PQ=90°，
∴∠Q′QP=∠ABE，（4分）
∵∠PQ′Q=∠BAE=90°，QQ′=AB，
∴△BAE≌△QQ′P．（5分）
∴Q′P=AE，
∵Q′P=MP+Q′M=MP+NQ，
∴AE=MP+NQ．（6分）

（2）如圖②，若點E在DA的延長線上時，結論AE=QN-MP．（8分）

（3）如圖，若點E₁在線段DH上時，結論：AE₁=MP₁+NQ₁．（10分）
若點E₂在射線HG上時，結論：AE₂=MP₂-NQ₂．（12分）
點評：本題考查全等三角形的判定定理以及正方形的性質的綜合運用．