Question

（2009•衢江區一模）如圖平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+x+2交x軸于A、B兩點，交y軸于點C．
（1）求證：△ABC為直角三角形；
（2）直線x=m（0＜m＜4）在線段OB上移動，交x軸于點D，交拋物線于點E，交BC于點F．求當m為何值時，EF=DF？
（3）連接CE和BE后，對于問題“是否存在這樣的點E，使△BCE的面積最大”，小紅同學認為：“當E為拋物線的頂點時，△BCE的面積最大．”她的觀點是否正確？提出你的見解，若△BCE的面積存在最大值，請求出點E的坐標和△BCE的最大面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據拋物線的解析式求出A、B、C三點的坐標，那么可用兩種方法進行求解．
①可分別求出AC、BC、AB的長，然后用勾股定理求證．
②可分別在直角三角形AOC和BOC中，用三角函數得出相關的銳角相等，然后通過證小直角三角形與△BAC相似來得出結論．
（2）本題由兩種求法：
①可根據△BDF和△BOC相似，用m表示出DF的長，即可得出DE的長，也就得出了E點的坐標，然后將E點坐標代入拋物線的解析式中即可得出m的值．
②可先求出直線BC的解析式．由于DE=2DF，因此當x=m時，拋物線的值是直線BC的值的2倍，由此可得出關于m的方程，即可求出m的值．
（3）本題要先求出△BEC的面積與E點坐標的函數關系式，根據函數的性質來求解．可設出E點的坐標（設橫坐標，用拋物線的解析式表示縱坐標）．然后根據△BCE的面積=梯形CODE的面積+△BDE的面積-△BOC的面積；來得出關于△BCE的面積與E點橫坐標的函數關系式，然后根據函數的性質求出S的最大值和對應的E點的坐標．
解答：（1）證明：對于y=-x²+x+2
當y=0時，-x²+x+2=0，解得x₁=-1，x₂=4；
當x=0時，y=2
∴A、B、C三點的坐標分別為
A（-1，0），B（4，0），C（0，2）
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∴AB=OA+OB=5，
∴AB²=25
在Rt△AOC中，AC²=OA²+OC²=1²+2²=5
在Rt△COB中，BC²=OC²+OB²=2²+4²=20
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形．

（2）解：∵直線DE的解析式為直線x=m，
∴OD=m，DE⊥OB．
∵OC⊥AB，
∴OC∥DE，
∴△BDF∽△BOC，
∴=
∵OC=2，OB=4，BD=OB-OD=4-m，
∴DF=．
當EF=DF時，DE=2DF=4-m，
∴E點的坐標為（m，4-m）
∵E點在拋物線y=-x²+x+2上，
∴4-m=-m²+m+2
解得m₁=1，m₂=4．
∵0＜m＜4，
∴m=4舍去，
∴當m=1時，EF=DF；

（3）解：小紅同學的觀點是錯誤的．
∵OD=m，DE⊥OB，E點在拋物線y=-x²+x+2上
∴E點的坐標可表示為（m，-m²+m+2）
∴DE=-m²+m+2．
∵DF=2-m，
∴EF=DE-DF=-m²+2m
∵S_△BCE=S_△CEF+S_△BEF=EF•OD+EF•BD=EF•（OD+BD）
=EF•OB=EF•4=2EF
∴S_△BCE=-m²+4m=-（m²-4m+4-4）=-（m-2）²+4
∴當m=2時，S_△BCE有最大值，△BCE的最大面積為4；
∵當m=2時，-m²+m+2=3，
∴E點的坐標為（2，3）
而拋物線y=-x²+x+2的頂點坐標為（，），
∴小紅同學的觀點是錯誤的．
點評：本題主要考查二次函數的應用、直角三角形的判定、圖形的面積求法等知識及綜合應用知識、解決問題的能力．不規則圖形的面積通常轉化為規則圖形的面積的和差．