Question

已知：如圖，有一塊含30°的直角三角板OAB的直角邊BO的長恰與另一塊等腰直角三角板ODC的斜邊OC的長相等，把該套三角板放置在平面直角坐標系中，且AB=3．
（1）若雙曲線的一個分支恰好經過點A，求雙曲線的解析式；
（2）若把含30°的直角三角板繞點O按順時針方向旋轉后，斜邊OA恰好與x軸重疊，點A落在點A'處，試求圖中陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

解：（1）在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3，
∴tan∠AOB=，
∴OB=3，
∴點A（3，3）．
設雙曲線的解析式為y=（k≠0），
∴3=，解得：k=9，
則雙曲線的解析式為：y=；
（2）在Rt△OBA中，∠AOB=30°，AB=3，
∴OA=6．
由題意得：∠AOC=60°，
S_扇形AOA'= ，
在Rt△OCD中，∠DOC=45°，OC=OB=3，
∴OD=OC·cos45°=3·=，
∴S_△ODC=OD²=（）²=．
∴S_陰影=S_扇形AOA'﹣S_△ODC=6π﹣．