Question

已知雙曲線y=

3

x

和直線y=kx+2（k是常數）相交于點A（x₁，y₁）和點B（x₂，y₂），（x₁＜x₂）且x12+x22=10．
（1）求k值；
（2）在同一平面直角坐標系中畫出兩個函數圖象，根據圖象寫出一次函數值大于反比例函數值時x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）聯立兩函數解析式，消去y得到關于x的一元二次方程，由兩函數有兩個交點，得到根的判別式大于0，列出關于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，利用根與系數的關系表示出兩根之和與兩根之積，將已知等式利用完全平方公式變形后，將兩根之和與兩根之積代入得到關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值；
（2）由k的值確定出一次函數解析式，在同一個坐標系中畫出兩函數圖象，求出兩函數交點A與B的坐標，由A與B的橫坐標及0，將x軸分為四個范圍，在圖象上找出一次函數圖象在反比例函數圖象上方時x的范圍即可．

解答：解：（1）聯立兩函數解析式得：

y= 3 x y=kx+2

，
消去y得：

3

x

=kx+2，即kx²+2x-3=0，
∴△=b²-4ac=4+12k＞0，即k＞-

1

3

，
∴x₁+x₂=-

2

k

，x₁x₂=-

3

k

，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=

4

k2

+

6

k

=10，
整理得：5k²-3k-2=0，即（5k+2）（k-1）=0，
解得：k=-

2

5

（不合題意，舍去）或k=1，
則k的值為1；
（2）由k=1得到一次函數解析式為y=x+2，與反比例函數y=

3

x

聯立，
可得A（1，3），B（-3，1），
在同一個坐標系中畫出兩函數圖象，如圖所示，

由圖象可得：一次函數值大于反比例函數值時x的取值范圍為-3＜x＜0或x＞1．

點評：此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，涉及的知識有：根與系數的關系，完全平方公式的運用，一元二次方程的解法，以及坐標與圖形性質，利用了數形結合的思想，數形結合思想是數學中重要的思想方法，做題時注意靈活運用．