Question

如左圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a＞0）的圖象的頂點(diǎn)為D點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），OB=OC，tan∠ACO=

1

3

．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）經(jīng)過C、D兩點(diǎn)的直線，與x軸交于點(diǎn)E，在該拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)F，使以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
（3）若平行于x軸的直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓與x軸相切，求該圓半徑的長度．
（4）如圖，若點(diǎn)G（2，y）是該拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)P是直線AG下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△APG的面積最大？求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)和△APG的最大面積．

Answer 1

分析：（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式，需要求出A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)．已知B點(diǎn)坐標(biāo)，且OB=OC，可知C（0，3），tan∠ACO=

1

3

，則A坐標(biāo)為（-1，0）．將A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入關(guān)系式，可求得二次函數(shù)的表達(dá)式．
（2）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)F（m，n），已知拋物線關(guān)系式，求出頂點(diǎn)D坐標(biāo)，今兒求出直線CD，E是直線與x軸交點(diǎn)，可得E點(diǎn)坐標(biāo)．四邊形AECF為平行四邊形，則CE∥AF，則兩直線斜率相等，可列等式（1），CE=AF，可列等式（2），F(xiàn)在拋物線上，為等式（3），根據(jù)這三個(gè)等式，即可求出m、n是否存在．
（3）分情況討論，當(dāng)圓在x軸上方時(shí)，根據(jù)題意可知，圓心必定在拋物線的對稱軸上，設(shè)圓半徑為r，則N的坐標(biāo)為（r+1，r），將其代入拋物線解析式，可求出r的值．當(dāng)圓在x軸的下方時(shí)，方法同上，只是N的坐標(biāo)變?yōu)椋╮+1，-r），代入拋物線解析式即可求解．
（4）G在拋物線上，代入解析式求出G點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），即（x，x²-2x-3）已知點(diǎn)A、G坐標(biāo)，可求出線段AG的長度，以及直線AG的解析式，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出P到直線的距離，即為三角形AGP的高，從而用x表示出三角形的面積，然后求當(dāng)面積最大時(shí)x的值．

解答：解：（1）方法一：由已知得：C（0，-3），A（-1，0）（1分）
將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入
得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

（2分）
解得：

a=1 b=-2 c=-3

（3分）
所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²-2x-3（3分）
方法二：由已知得：C（0，-3），A（-1，0）（1分）
設(shè)該表達(dá)式為：y=a（x+1）（x-3）（2分）
將C點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：a=1（3分）
所以這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=x²-2x-3（3分）
（注：表達(dá)式的最終結(jié)果用三種形式中的任一種都不扣分）

（2）方法一：存在，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-3）（4分）
理由：易得D（1，-4），
所以直線CD的解析式為：y=-x-3
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0）（4分）
由A、C、E、F四點(diǎn)的坐標(biāo)得：AE=CF=2，AE∥CF
∴以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形
∴存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為（2，-3）（5分）
方法二：易得D（1，-4），所以直線CD的解析式為：y=-x-3
∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0）（4分）
∵以A、C、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-3）或（-2，-3）或（-4，3）
代入拋物線的表達(dá)式檢驗(yàn)，只有（2，-3）符合
∴存在點(diǎn)F，坐標(biāo)為（2，-3）（5分）

（3）如圖，①當(dāng)直線MN在x軸上方時(shí)，
設(shè)圓的半徑為R（R＞0），則N（R+1，R），
代入拋物線的表達(dá)式，解得R=

1+ 17

2

（6分）
②當(dāng)直線MN在x軸下方時(shí)，
設(shè)圓的半徑為r（r＞0），
則N（r+1，-r），
代入拋物線的表達(dá)式，
解得r=

-1+ 17

2

（7分）
∴圓的半徑為

1+ 17

2

或

-1+ 17

2

．（7分）

（4）過點(diǎn)P作y軸的平行線與AG交于點(diǎn)Q，
易得G（2，-3），直線AG為y=-x-1．（8分）
設(shè)P（x，x²-2x-3），則Q（x，-x-1），
PQ=-x²+x+2．S_△APG=S_△APQ+S_△GPQ=

1

2

（-x²+x+2）×3（9分）
當(dāng)x=

1

2

時(shí)，△APG的面積最大
此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（

1

2

，-

15

4

），S_△APG的最大值為

27

8

．（10分）

點(diǎn)評：此題考查二次函數(shù)與x軸，y軸坐標(biāo)求法，頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，二次函數(shù)圖象與平行四邊形，圓相結(jié)合，重點(diǎn)考查了平行四邊形，圓的性質(zhì)特征．