Question

【題目】如圖，拋物線y=﹣ x2+ x+3 與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，連接AC、BC．點P沿AC以每秒1個單位長度的速度由點A向點C運動，同時，點Q沿BO以每秒2個單位長度的速度由點B向點O運動，當一個點停止運動時，另一個點也隨之停止運動，連接PQ．過點Q作QD⊥x軸，與拋物線交于點D，與BC交于點E，連接PD，與BC交于點F．設點P的運動時間為t秒（t＞0）．

（1）求直線BC的函數表達式；
（2）①直接寫出P，D兩點的坐標（用含t的代數式表示，結果需化簡）
②在點P、Q運動的過程中，當PQ=PD時，求t的值；
（3）試探究在點P，Q運動的過程中，是否存在某一時刻，使得點F為PD的中點？若存在，請直接寫出此時t的值與點F的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由y=0得﹣ x2+ x+3 =0，

解得：x1=﹣3，x2=9，

∴B（9，0），

由x=0得y=3 ，

∴C（0，3 ），

設直線BC的解析式為y=kx+b，∴ ，

∴ ，

∴直線BC的解析式為y=﹣ x+3

（2）

解：①過p作PG⊥x軸于G，

∵A（﹣3，0），C（0，3 ），

∴OA=3．OC=3 ，

∴tan∠CAO= ，

∴∠CAO=60°，

∵AP=t，

∴PG= t，AG= t，

∴OG=3﹣ t，

∴P（ t﹣3， t），

∵DQ⊥x軸，BQ=2t，

∴OQ=9﹣2t，

∴D（9﹣2t，﹣ t2+ t），

②過P作PH⊥QD于H，

則四邊形PGQH是矩形，

∴HQ=PG，∵PQ=PD，PH⊥QD，∴DQ=2HQ=2PG，∵P（ t﹣3， t），D（9﹣2t，﹣ t2+ t），

∴﹣ t2+ t=2× t，

解得：t1=0（舍去），t2= ，∴當PQ=PD時，t的值是 ；

（3）

解：∵點F為PD的中點，

∴F的橫坐標為： （ t﹣3+9﹣2t）=﹣ t+3，F的縱坐標為 （ t﹣ t2+ t）=﹣ t2+ t，

∴F（﹣ t+3，﹣ t2+ t），

∵點F在直線BC上，

∴﹣ t2+ t=﹣ （﹣ t+3）+3 ，

∴t=3，

∴F（ ， ）

【解析】（1）更好函數的解析式得到B（9，0），C（0，3 ），解方程組即可得到結論；（2）①過p作PG⊥x軸于G，解直角三角形得到∠CAO=60°，得到PG= t，AG= t，于是得到P（ t﹣3， t），把OQ=9﹣2t代入二次函數的解析式即可得到D（9﹣2t，﹣ t2+ t），②過P作PH⊥QD于H，得到四邊形PGQH是矩形，列方程即可得到即可；（3）根據折疊坐標公式得到F（﹣ t+3，﹣ t2+ t），由點F在直線BC上，列方程即可得到結論．