Question

如圖，亮亮在不打滑的平面軌道上滾動一個半徑為10cm的圓盤，其中AB=80cm，BC與水平面的夾角為60°．當(dāng)圓盤從A點滾到與BC開始相切時停止，設(shè)圓盤切BC于點E，切AB于點D．
（1）當(dāng)圓盤在AB上滾動一圈時，求其圓心所經(jīng)過的路線長度？（精確到0.1cm）
（2）當(dāng)圓盤從A點滾到與BC開始相切時，求其圓心O所經(jīng)過的路線長是多少？（精確到0.1cm）
（3）設(shè)斜坡的頂端為點C點，當(dāng)坡高CF為30cm時，求切點E到頂端C的距離．（精確到0.1cm）

Answer 1

解：（1）由圓的半徑10cm，得到圓的周長C=2πr=20π≈62.8cm，
所以當(dāng)圓盤在AB上滾動一圈時，求其圓心所經(jīng)過的路線長度是62.8cm；

（2）連接OD和OB，根據(jù)切線性質(zhì)得到∠ODB=90°，∠DOB=30°，
設(shè)BD=xcm，則OB=2xcm，根據(jù)勾股定理得：DB²+OD²=OB²，
即x²=，
解得x=，
即BD=cm，
所以當(dāng)圓盤從A點滾到與BC開始相切時，其圓心O所經(jīng)過的路線長是AD=AB-BD=80-≈74.2cm；

（3）由切線性質(zhì)得：BD=BE=cm，
在直角△BCF中，∠CBF=60°，CF=30cm，
則BC==20cm，
所以切點E到頂端C的距離為20-=28.9cm．
分析：（1）當(dāng)圓盤在AB上滾動一圈時，其圓心所經(jīng)過的路線長為圓的周長，所以由圓的半徑求出圓的周長即可；
（2）當(dāng)圓盤從A點滾到與BC開始相切時，連接OD和OB，根據(jù)切線性質(zhì)得到三角形OBD為直角三角形且角OBD為60°，設(shè)BD=x，根據(jù)勾股定理即可列出關(guān)于x的方程，求出x的值得到BD的長，用AB-BD即可求出AD的長即為其圓心O所經(jīng)過的路線長是AD的長度；
（3）在直角三角形CBF中，由CF的長和角CBF的度數(shù)，利用三角函數(shù)，即可求出BC的長，根據(jù)（2）中求出的BD長得到EB的長，利用BC-BE即可求出EC的長．
點評：此題考查學(xué)生掌握圓切線的性質(zhì)即圓外一點作圓的兩條切線，切線長相等且圓心與這點的連線平分兩切線的夾角，靈活運用勾股定理及三角函數(shù)的定義化簡求值，考查學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生識別圖形的能力，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來自于生活，又服務(wù)于生活的理念．