Question

在平面直角坐標系中，A點坐標為（-1，-2），B點坐標為（5，4）．已知拋物線y=x²-2x+c與線段AB有公共點，則c的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先利用待定系數法得到直線AB的解析式為y=x-1，然后討論：當直線AB與拋物線y=x²-2x+c相切時，拋物線y=x²-2x+c與y軸的交點最高，即c的值最大，由兩個解析式得關于x的一元二次方程，令△=0求出c；當拋物線y=x²-2x+c過B點時，拋物線y=x²-2x+c與y軸的交點最低，即c的值最小，把B（5，4）代入y=x²-2x+c可求出c的值，最后確定c的范圍．

解答：解：如圖，
拋物線y=x²-2x+c與y軸的交點坐標為（0，c），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
把A（-1，-2），B（5，4）代入得，-k+b=-2，5k+b，解得k=1，b=-1，
∴直線AB的解析式為y=x-1，
當直線AB與拋物線y=x²-2x+c相切時，拋物線y=x²-2x+c與y軸的交點最高，即c的值最大，
把y=x-1代入y=x²-2x+c得，x²-3x+c+1=0，則△=0，即9-4（c+1）=0，解得c=

5

4

；
當拋物線y=x²-2x+c過B點時，拋物線y=x²-2x+c與y軸的交點最低，即c的值最小，
把B（5，4）代入y=x²-2x+c得，25-10+c=4，解得c=-11．
∴c的取值范圍為-11≤x≤

5

4

．
故答案為-11≤x≤

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4

．

點評：本題考查了二次函數的綜合題：拋物線與直線相切轉化為一元二次方程有等根的問題，即△=0．也考查了數形結合的數學思想的運用．