Question

【題目】問題背景：在△ABC中，∠B=2∠C，點(diǎn)D為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AD滿足某種條件時(shí)，探討在線段AB、BD、CD、AC四條線段中，某兩條或某三條線段之間存在的數(shù)量關(guān)系．

例如：在圖1中，當(dāng)AB=AD時(shí)，可證得AB=DC，現(xiàn)在繼續(xù)探索：

任務(wù)要求：

（1）當(dāng)AD⊥BC時(shí)，如圖2，求證：AB+BD=DC；

（2）當(dāng)AD是∠BAC的角平分線時(shí)，判斷AB、BD、AC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

Answer 1

【答案】（1）證明見詳解；

（2）AB+BD=AC．

【解析】

（1）作輔助線“在DC上截取DM=BD，連接AM”構(gòu)建全等三角形△ABD≌△AMD，然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等以及等腰三角形的性質(zhì)證得∠B=∠AMB；再由已知條件、三角形外角定理求得∠C=∠MAC，所以AM=MC；最后根據(jù)等量代換求得MC=AB，即AB+BD=DC；
（2）延長(zhǎng)AB到M，使BM=BD，連接MD．∠ABD=∠M+∠BDM=2∠M．由∠ABD=2∠C，得∠M=∠C．再證△AMD≌△ACD，可得結(jié)論AB+BD=AC．

解：

（1）在DC上截取DM=BD，連接AM．
在△ABD與△AMD中，

，
∴△ABD≌△AMD（SAS），
∴AB=AM，
∴∠B=∠AMB．
∵∠AMD=∠MAC+∠C，∠B=2∠C，
∴∠C=∠MAC，
∴AM=MC，
∴MC=AB，
則AB+BD=DC；
（2）

如圖示，延長(zhǎng)AB到M，使BM=BD，連接MD．
∴∠ABD=∠M+∠BDM=2∠M．
∵∠ABD=2∠C，
∴∠M=∠C．
又∵AD是∠BAC的角平分線，

∴∠BAD=∠CAD，
AD=AD（公共邊）
∴△AMD≌△ACD（AAS）．
∴AM=AC，
∴AB+BD=AC．