Question

（2006•常德）如圖，在直角坐標系中，已知點A（，0），B（-，0），以點A為圓心，AB為半徑的圓與x軸相交于點B，C，與y軸相交于點D，E．
（1）若拋物線y=x²+bx+c經過C，D兩點，求拋物線的解析式，并判斷點B是否在該拋物線上；
（2）在（1）中的拋物線的對稱軸上求一點P，使得△PBD的周長最小；
（3）設Q為（1）中的拋物線的對稱軸上的一點，在拋物線上是否存在這樣的點M，使得四邊形BCQM是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據A（，0），B（-，0）可求圓半徑是2，連接AD，在Rt△AOD中，可求OD，即D（0，-3），把C，D兩點坐標代入拋物線y=x²+bx+c，可求拋物線解析式，將B點坐標代入解析式進行檢驗即可；
（2）由（1）知，點B關于拋物線對稱軸的對稱點為點C，連接CD，交拋物線對稱軸于P點，P點即為所求，先求直線CD的解析式，已知P點橫坐標x=，代入直線CD的解析式即可求P；
（3）∵BC=4，Q點橫坐標是，M在Q點左邊，則M點橫坐標為-4=-3，代入拋物線解析式可求M點坐標．
解答：解：（1）∵OA=，AB=AC=2，
∴B（-，0），C（3，0），連接AD，
在Rt△AOD中，AD=2，OA=，
∴OD==3，
∴D的坐標為（0，-3），（3分）
又∵D，C兩點在拋物線上，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為：y=x²-x-3，（5分）
當x=-時，y=0，
∴點B（-，0）在拋物線上，（6分）

（2）∵y=x²-x-3，
=（x-）²-4，
∴拋物線y=x²-x-3的對稱軸方程為x=，（7分）
在拋物線的對稱軸上存在點P，使△PBD的周長最小．
∵BD的長為定值∴要使△PBD周長最小只需PB+PD最小．
連接DC，則DC與對稱軸的交點即為使△PBD周長最小的點．
設直線DC的解析式為y=mx+n．
由，
得，
∴直線DC的解析式為y=x-3．
由，
得，
故點P的坐標為．（9分）

（3）存在，設Q（，t）為拋物線對稱軸x=上一點，
M在拋物線上要使四邊形BCQM為平行四邊形，
則BC∥QM且BC=QM，點M在對稱軸的左側．
于是，過點Q作直線L∥BC與拋物線交于點M（x_m，t），
由BC=QM得QM=4，
從而x_m=-3，t=12，
另外：M在拋物線的頂點上也可以構造平行四邊形！
故在拋物線上存在點M（-3，12）或（5，12）或（，-4），使得四邊形BCQM為平行四邊形．（12分）
點評：本題考查了點的坐標及二次函數解析式的求法，要求會在坐標系中求線段和最小的問題以及探求平行四邊形的條件．