Question

如圖，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5．△ABD，△ACE，△BCF都是等邊三角形，則四邊形AEFD的面積為

 

．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質

專題：

分析：根據題中的等式關系可推出兩組對邊分別相等，從而可判斷四邊形AEFD為平行四邊形．由勾股定理的逆定理判定∠BAC=90°，則∠DAE=150°，故易求∠FDA=30°．所以由平行四邊形的面積公式即可解答．

解答： 解：∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，
∴BC²=AB²+AC²，
∴∠BAC=90°，
∵△ABD，△ACE都是等邊三角形，
∴∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAE=150°．
∵△ABD和△FBC都是等邊三角形，
∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，
∴∠DBF=∠ABC．
在△ABC與△DBF中，

BD=BA amp;  ∠DBF=∠ABC amp;  BF=BC amp;

∴△ABC≌△DBF（SAS），
∴AC=DF=AE=4，
同理可證△ABC≌△EFC，
∴AB=EF=AD=3，
∴四邊形DAEF是平行四邊形（兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形）．
∴∠FDA=180°-∠DAE=30°，
∴S_?AEFD=AD•（DF•sin30°）=3×（4×

1

2

）=6．
即四邊形AEFD的面積是6．

點評：本題綜合考查了勾股定理的逆定理，平行四邊形的判定與性質，全等三角形的判定與性質以及等邊三角形的性質．綜合性比較強，難度較大，有利于培養學生綜合運用知識進行推理和計算的能力．