Question

已知：△ABC中，CA=CB，O為AB的中點，E、F分別在直線AC、BC上，且∠EOF=2∠A．
（1）如圖1，若∠A=45゜，則=1；=1；
（2）如圖2，若∠A=45゜，求證：①OE=OF；②CF-CE=AC；1
（3）如圖3，若∠A=30゜，探究CF-CE與AC之間的數量關系．

Answer 1

解：（1）①連接OC，
∵∠A=45゜，
∴∠EOF=2∠A=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∵CA=CB，O為AB的中點，
∴CO⊥AB，OA=OB，∠A=∠B=45°，
∴OC=OA=OB=AB，∠BOC=∠A=45°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，CF=AE，
∴=1；

②∵CF=AE，
∴AC=AE+CE=CF+CE，
∴=1；

（2）①連接OC，
∵∠A=45゜，
∴∠EOF=2∠A=90°，
∴∠AOE+∠BOF=90°，
∵CA=CB，O為AB的中點，
∴CO⊥AB，OA=OB，∠A=∠B=45°，
∴OC=OA=OB=AB，∠BOC=∠A=45°，
∴∠BOF+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，CF=AE，
②∴CF-CE=AE-CE=AC；

（3）CF-CE=AC．
理由：連接OC，過點O作OM⊥AE于 M，ON⊥CF于N，
∵CA=CB，O為AB的中點，
∴OM=ON，∠ACO=∠BCO，CO⊥AB，
∴∠COM=∠CON，
∴CM=CN，
∵∠A=30°，
∴∠EOF=2∠A=60°，∠B=∠A=30°，OC=AC，
∴∠ACB=120°，
∴∠MON=60°，
∴∠MON=∠EOF=30°，
∴∠EOM=∠FON，CM=OC，
在△EOM和△FON中，
，
∴△EOM≌△FON（ASA），
∴EM=NF，
∴CF-CE=CN+NF-CE=CM+ME-CE=CM+CM=2CM=OC=AC．
分析：（1）首先連接OC，易證得△AOC與△BOC是等腰直角三角形，繼而證得△AOE≌△COF，則可證得OE=OF，CF=AE，則可證得=1；=1；
（2）首先連接OC，易證得△AOC與△BOC是等腰直角三角形，繼而證得△AOE≌△COF，則可證得OE=OF，CF=AE，繼而可得CF-CE=AC；
（3）首先OC，作OM⊥AE于 M，ON⊥CF于N，則可得△COM≌△CON，△EOM≌△FON，即可得CM=CN，EM=NF，繼而可得CF-CE=AC．
點評：此題考查了全等三角形的判定與性質、等腰直角三角形的性質以及含30°角的直角三角形的性質．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用．