Question

在某高科技術開發區中，相距200 m的A、B兩地的中點O處有一精密儀器研究所，為保證研究所正常工作，在其周圍50 m內不得有機動車輛經過．現在要從A到B修一條公路，有下面兩種修路方案：

(1)分別由A、B向以O為圓心、半徑為50 m的半圓引切線，切點分別為M、N，沿線段AM、圓弧MN、線段NB修路(如圖)；

(2)分別由A、B向以O為圓心、徑為50 m的半圓引切線，兩切線相交于點P，沿線段AP、PB修路(如圖)．

分別計算兩種修路方案的公路長，并指出哪種修路方案更節省?

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)連結OM、ON． ∵　AM、BN分別切⊙O于點M、N， ∴　OM⊥AM，ON⊥BN． 由題意知，AO=OB=100 m，OM=ON=50 m， ∴　∠A=∠B=30°，∠AOM=∠BON=60°． ∴　的長為×2p×50=，AM=BN=50． ∴　路徑AM++BN=50++50=(100+)m． (2)連結OP，由(1)知，∠A=∠B=30°， ∴　PA=PB．∴　PO⊥AB．∴　PA==． ∴　路徑PA+PB=m． ∵　100+＜，∴　祒 諞恢址槳附謔。?/span>

提示：

方案(1)是兩線段與弧連接的路徑，而方案(2)是折線路徑．連接的本質是相切，在圖中，可連結OM、ON，則OM⊥AM，ON⊥BN．故AM、BN可求，進而長也可求．圖的計算方法為：連結PO，則AP=，所以AP+PB= =． 比較它們的大小可知哪種方案節省． 本題是利用連接和非連接兩套方案比較路徑長短，也就是連接與非連接的擇優．將實際問題抽象為具體的數學模型，通過對數學模型的性質的研究，確定實際問題的解決辦法．